Résumé, Projection dans le plan

$(D)$ et $(D')$ deux droites sécantes en $O$

Par le point $M$ passe une seule droite parallèle à $(D)$ et qui coupe $(D)$ en $M'$

• Le point $M'$ s’appelle : le projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $\left(\Delta\right)$

• $M'$ est le projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $\left(\Delta\right)$ si

  • $\left(MM'\right)\ \parallel(\Delta)$
  • $M'\in\left(D\right)$

---

Si $p$ la projection sur $(\Delta)$ parallèlement à $(D)$ alors :

$p(M)=M'$ signfie que $M'$ est l’image de $M$ par la transformation $p$ c-à-d : $M'\in\left(D\right)$ et $(MM')\parallel(\Delta)$

• si $E\in(D)$ alors $p(E)=E$, le point $E$ est dit invariant par la projection $p$
• si $F\in(\Delta)$, alors $p(F)=O$

Exemple

$p$ est la prjection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$

• p(A) = A'
• p(B) = C
• p(E) = O
• p(G) = C
• p(F) = F
• p(O) = O

---

Théorème de Thales (forme vectorielle)

Théorème direct

$(D)$ et $\left(\Delta\right)$ deux droites sécantes en $O$ et $p$ la projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ et $k\in\R$

Si $\begin{cases} \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{EF}\\ \text{et } p\left(A\right)=A' \text{ et } p(B)=B' \\ \text{ et } p(E)=E' \text{ et } p(F)=F' \end{cases}$

Alors : $\overrightarrow{A' B'}=k\overrightarrow{E' F'}$

On dit que la projection conserve le coefficient de colinéarité

---

Théorème réciproque

$(D)$ et $\left(\Delta\right)$ sécantes en $O$, $(AB)$ et $\left(\Delta\right)$ sont sécantes et $p$ la projection sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ et $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$

Si $p\left(A\right)=A'$ ; $p\left(B\right)=B'$ et $\overrightarrow{A' M'}=k\overrightarrow{A' B'}$, alors $p\left(M\right)=M'$