Résumé , Calcul vectoriel dans le plan

Le vecteur $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par :

• sa direction : celle de la droite $(AB)$
• son sens : de A vers B
• sa norme : la longueur du segment $[AB]$ dans l’unité choisie, on note $||\vec{u}||=AB$

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Propriétés

• $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$
• $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme
• $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AN}$ signifie que $M = N$
• $\overrightarrow{AM} = \vec{0}$ signifie que $A = M$

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• $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \quad \text{(Relation de Chasles)}$

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• La somme des deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ est le vecteur $\overrightarrow{AD}$ tel que $ABDC$ est un parallélogramme.

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• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s’il existe un $k \in \mathbb{R}$ tel que $\boxed{\vec{u} = k \cdot \vec{v}}$

• Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs

• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ont la même direction

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• $\vec{u}$ un vecteur et $k \in \mathbb{R}$.

• Si $\vec{u} \neq \vec{0}$ :

  • $0 \cdot \vec{u} = \vec{0}$.

  • Si $k > 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont le même sens et $||k\vec{u}|| = k \cdot ||\vec{u}||$.

  • Si $k < 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et$k\vec{u}$ ont des sens opposés et $||k\vec{u}|| = -k \cdot ||\vec{u}||$.

• $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$.

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• $a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$
• $(a + b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$
• $a(b\vec{u}) = (ab)\vec{u}$
• $\mathbf{1} \cdot \vec{u} = \vec{u}$
• $k\vec{u} = \vec{0} \quad \text{équivaut à} \quad k = 0 \quad \text{ou} \quad \vec{u} = \vec{0}.$

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• $I$ milieu de [AB]

  • $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$

  • $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$

  • $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$