I. Fonctions de reférences

1) La fonction carrée : $x\mapsto ax^2$

Considèrons la fonction $f$ définie par : $f(x)= ax^2$

• Domaine de définition : $D_f=\R$

• Parité de $f$ : $D_f$ est symétrique par rapport à $0$,

  (pour tout $x\in\R$ on a : $-x\in\R$)

  Pour tout $x\in\R$ on a : $f(-x)=f(x)$ et donc $f$ est paire

• Variations de $f$ sur $\R$

  $$\begin{align*} T(x,y)&=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\\ &=\dfrac{ax^2-ay^2}{x-y}\\ &=\frac{a(x-y)(x+y)}{x-y}\\ &=a(x+y) \end{align*}$$
  • Si $x,y\in[0,+\infty[$ et $a>0$ alors $T(x,y)\ge0$
  • Si $x,y\in[0,+\infty[$ et $a<0$ alors $T(x,y)\le0$
  • Si $x,y\in]-\infty,0]$ et $a>0$ alors $T(x,y)\le0$
  • Si $x,y\in]-\infty,0]$ et $a<0$ alors $T(x,y)\ge0$ Résumé

  $\star$ Si $a>0$

  $\star$ Si $a<0$

• Graphe de $f$ :

  • La courbe représentative $(P)$ de $f$ est appelée parabole.
  • La prabole $(P)$ a pour équation $y=ax^2$
  • L'origine du repère $O(0,0)$ est le sommet de la parabole $(P)$
  • La parabole $(P)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. (car $f$ est paire)

Exemples

Exemple 1 : La fonction $f:x\mapsto x^2$

ici : $a=1$ donc $a>0$ et donc :

• graphe $(C_f)$ de $f$ :

  • Tableau de valeurs :
  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\\hline \end{array}$$
  • Tracé de $(C_f)$

Exemple 2 : la fonction $g:x\mapsto -2x^2$

ici : $a=-2$ donc $a>0$ et donc :

• graphe $(C_g)$ de $g$ :

  • Tableau de valeurs :
  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline g(x) & -8 & -2 & 0 & -2 & -8 \\\hline \end{array}$$
  • Tracé de $(C_g)$

2) La fonction inverse : $x\mapsto \frac ax$

Considèrons la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{a}{x}$ avec $a \neq 0$

• Domaine de définition : $D_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$

• Parité : On a $\mathbb{R}^*$ est symétrique par rapport à 0. Pour tout $x \in \mathbb{R}^*$ :

  $$f(-x) = -f(x)$$

  donc $f$ est impaire.

• Variations de $f$ sur $\mathbb{R}^*$ : Soient $x, y \in \mathbb{R}^*$, on a :

  $$\begin{align*} T(x, y) &= \frac{f(x) - f(y)}{x - y}\\ & = \frac{a(y - x)}{xy(x - y)} \\ &= -\frac{a}{xy} \end{align*}$$

  • Si $x, y \in ]-\infty, 0[$, alors $xy > 0$.

    Donc pour tous $x, y \in ]-\infty, 0[$, on a $T(x, y) < 0$.

  • Si $x, y \in ]0, +\infty[$, alors $xy > 0$.

    Donc pour tous $x, y \in ]0, +\infty[$, on a $T(x, y) < 0$.

  Résumé :

• Si $a > 0$, alors $f$ est strictement décroissante sur les deux intervalles $]-\infty, 0[$ et $]0, +\infty[$.

• Si $a < 0$, alors $f$ est strictement croissante sur les deux intervalles $]-\infty, 0[$ et $]0, +\infty[$.

• Graphe de $f$ : La courbe représentative $(H)$ de la fonction $x \mapsto \frac{a}{x}$ est appelée hyperbole, c'est la courbe d'équation $y = \frac{a}{x}$.

  • L'origine du repère est le centre de symétrie de l'hyperbole (car $f$ est impaire).
  • Les droites $x = 0$ et $y = 0$ sont des asymptotes à $(H)$.

Exemples

Exemple 1 : la fonction $f:x\mapsto \frac1x$

Ici : $a=1$ donc $a>0$, alors $f$ est strictement décroissante sur les deux intervalles $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$

• graphe $(C_f)$ de $f$ :

  • Tableau de valeurs :
  $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 1 & 0.5 \\ \hline f(x) & 0,5 & 1 & 2 \\\hline \end{array}$$

  Les autres valeurs ont été obtenues du fait que $f$ est impaire.

  • Tracé de $(C_f)$

Exemple 2: a fonction $g:x\mapsto -\frac2x$

Ici : $a=-2$ donc $a<0$, alors $g$ est strictement croissante sur les deux intervalles $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$

• graphe $(C_g)$ de $f$ :

  • Tableau de valeurs :
  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 &1 &2 \\ \hline g(x) & 1 & 2 & -2 & -1 \\\hline \end{array}$$
  • Tracé de $(C_g)$

II. Etude des fonctions : trinôme et homographique

1) La fonction trinôme : $x\mapsto ax^2+bx+c$

Considèrons la fonction $f$ définie par : $f(x)=ax^2+bx+c$

où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réellles avec $a\ne0$

et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,~\vec{i},~\vec{j})$

• Domaine de définition : $D_f = \mathbb{R}$ car $f$ est polynôme.

• La forme canonique de $f(x)$ est :

  $$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)^2 + \beta$$

  où $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.

• Posons $X = x - \alpha$ et $g(X) = f(x) - \beta$, donc :

  $$g(X) = aX^2$$

  D'où : la courbe $(C_f)$ est l'image de la parabole d'équation $y = ax^2$ par la translation de vecteur $\vec{u}(\alpha, \beta)$.

• Le point $S(\alpha, \beta)$ est le sommet de la courbe $(C_f)$.

• La droite d'équation $x = \alpha$ est un axe de symétrie de la courbe $(C_f)$.

• Variations de $f$ :

  • Si $a > 0$ :

• Si $a < 0$ :

Exemple

$$f(x)=x^2+2x-2$$

1. Montrer que $f(x) = (x+1)^2 - 3$:

$$\begin{align*} f(x) &= x^2 + 2x - 2 \\ &= x^2 + 2x + 1 - 1 - 2 \\ &= x^2 + 2 \times x \times 1 + 1^2 - 3 \\ &= (x + 1)^2 - 3 \end{align*}$$

2. Déterminer la nature de $(C_f)$ et ses éléments caractéristiques:

   • On a $f(x) = (x+1)^2 - 3$, donc $\alpha = -1$ et $\beta = -3$.
   • La courbe $(C_f)$ est une parabole de sommet $S(-1, -3)$ et d'axe de symétrie d'équation $x = -1$.

3. Dresser le tableau de variations de $f$:

   • On a $a = 1 > 0$, donc :

4. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(C_f)$ avec les axes du repère:

   • Avec l'axe des ordonnées (où $x = 0$): $$f(0) = 0^2 + 2 \times 0 - 2 = -2$$ Donc, l'intersection avec l'axe des ordonnées est le point $(0, -2)$.
   • Avec l'axe des abscisses (où $y = f(x) = 0$): $$x^2 + 2x - 2 = 0$$ $$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 12$$ $$$$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{12}}{2}, ~~~~ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{12}}{2}$$ $$x_1 = -1 + \sqrt{3}, ~~~~ x_2 = -1 - \sqrt{3}$$

   Ainsi, les intersections de la courbe $C_f$ avec les axes du repère sont:

   • Avec l'axe des ordonnées : $A(0, -2)$,
   • Avec l'axe des abscisses : $B\left(-1 + \sqrt{3}, 0 \right)$ et $C\left(-1 - \sqrt{3}, 0 \right)$.

5. Construire la courbe $(C_f)$:

• Tableau de valeurs :

  $x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
  $f(x)$	$6$	$1$	$-2$	$-3$	$-2$	$1$	$6$

• Tracé de $(C_f)$ :

2) La fonction homographique : $x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$

• Si $c=0$, alors $f(x)=\frac{ax+b}{d}=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}$ donc $f$ une fonction affine.

  $\rightarrow$ Nous supposons $c\ne0$.

• La fonction n'est pas définie pour $x=-\frac{d}{c}$ (La valeur qui annule le dénominateur).

  $\rightarrow$ Domaine de définition est : $D_f=\mathbb{R}-\left\{-\frac{d}{c}\right\}$.

• Si $ad-bc=0$, donc $ad=bc$ :

  $$\begin{align*} f(x) &= \frac{ax+b}{cx+d} \\&= \frac{cax+cb}{c(cx+d)} \text{ car } c\ne0 \\&= \frac{cax+ad}{c(cx+d)} \\&= \frac{a(cx+d)}{c(cx+d)} \\&= \frac{a}{c} \end{align*}$$

  Donc $f$ est constante.

---

Considèrons la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ avec $a$, $b$ , $c$ et $d$ sont des constantes réelles vérifiant : $c\ne0$ et $ad-bc\ne0$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,~\vec{i},~\vec{j})$

---

• Domaine de définition : $D_f=\mathbb{R}-\left\{-\frac{d}{c}\right\}$

• La forme réduite de $f(x)$ est : $f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}$

  Pour déterminer $\alpha$, $\beta$ et $k$ on calcule : $f(x)-\frac{a}{c}$

• Posons $X=x-\alpha$ et $g(X)=f(x)-\beta$, donc : $g(X)=\dfrac{k}{X}$

  d'où : la courbe $(C_f)$ est l'image de l'hyperbole d'équation $y=\dfrac{k}{x}$ par la translation de vecteur $\vec{u}(\alpha,\beta)$.

• $(C_f)$ est l'hyperbole de centre $\Omega\left(-\dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}\right)$ et d'asymptotes d'équations $x=-\dfrac{d}{c}$ et $y=\dfrac{a}{c}$.

• Variations de $f$ :

  • Si $k>0$ :
  • Si $k<0$ :

Exemple

$$f(x)=\frac{2x-5}{x-1}$$

1. $D_f=\R-\left\{1\right\}=]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$
2. Forme réduite : $$\begin{align*} f(x)-\frac{a}{c}&=f(x)-\frac{2}{1}\\&=\frac{2x-5}{x-1}-2\\&=\frac{-3}{x-1} \end{align*}$$ Donc : $$f(x)=2+\frac{-3}{x-1}~~~~~~~;~~~x\ne1$$
3. Tableau de variations : on a : $k=-3<0$, donc :

4. $(C_f)$ est l'hyperbole de centre $\Omega\left(1;2\right)$ et d'asymptotes d'équations $x=1$ et $y=2$.

5. Intersection de $(C_f)$ avec les axes du repère :

   • Intersection avec l'axe des ordonnées (où $x = 0$) : $$f(0) = \frac{2 \cdot 0 - 5}{0 - 1} = \frac{-5}{-1} = 5$$ Donc, l'intersection avec l'axe des ordonnées est le point $(0, 5)$.
   • Intersection avec l'axe des abscisses (où $y = 0$) : $$\frac{2x - 5}{x - 1} = 0$$ $$2x - 5 = 0$$ $$x = \frac{5}{2}$$ Donc, l'intersection avec l'axe des abscisses est le point $\left( \frac{5}{2}, 0 \right)$.

   Ainsi, les intersections de la courbe $C_f$ avec les axes du repère sont :

   • Avec l'axe des ordonnées : $A(0, 5)$
   • Avec l'axe des abscisses : $B\left( \frac{5}{2}, 0 \right)$

6. Construction de $(C_f)$

   Tableau de valeurs :

   $x$	$-2$	$-1$	$0$	$2$	$3$	$4$
   $f(x)$	$3$	$3.5$	$5$	$-1$	$0.5$	$1$