Résumé – Arithmétique dans ℕ

I. Ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$

• $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$
• $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \ldots\}$ (ℕ sans le 0)

Exemples :

• $1 \in \mathbb{N}$, $102 \in \mathbb{N}$
• $-4 \notin \mathbb{N}$, $0 \notin \mathbb{N}^*$

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II. Divisibilité dans $\mathbb{N}$

1. Nombres pairs et impairs

• Pair : $n = 2k$ avec $k \in \mathbb{N}$
• Impair : $n = 2k + 1$ avec $k \in \mathbb{N}$

Exemples :

• 13 est impair car $13 = 2 \times 6 + 1$
• 144 est pair car $144 = 2 \times 72$

2. Opérations et parité

$a$	$b$	$a + b$	$a - b$	$ab$
Pair	Pair	Pair	Pair	Pair
Pair	Impair	Impair	Impair	Pair
Impair	Impair	Pair	Pair	Impair

Propriété : Le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

3. Multiples et diviseurs

• $a$ est multiple de $b$ si $a = k \times b$ avec $k \in \mathbb{N}$
• $b$ est diviseur de $a$

Exemples :

• $123 = 3 \times 41$
  → $123$ est multiple de $3$ et de $41$
  → $3$ et $41$ sont diviseurs de $123$

Remarques :

• $0$ est multiple de tout nombre
• $1$ est diviseur de tout nombre

4. Nombres premiers

• Un nombre premier est un entier naturel avec exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même

Exemples :

• Nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $31$, $47$
• $1$ n’est pas un nombre premier
• Le seul nombre premier pair est $2$

Astuce pour tester si un nombre est premier :
Vérifier qu’il n’est divisible par aucun nombre premier $\le \sqrt{n}$

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III. PGCD et PPCM

1. PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

• $\mathrm{PGCD}(a, b)$ = plus grand diviseur commun à $a$ et $b$
• Notation : $\mathrm{PGCD}(a, b)$ ou $a \land b$

Exemples :

• $\mathrm{PGCD}(8, 12) = 4$
• Si $\mathrm{PGCD}(a, b) = 1$, alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux

2. PPCM (Plus Petit Commun Multiple)

• $\mathrm{PPCM}(a, b)$ = plus petit multiple commun non nul à $a$ et $b$

Exemples :

• $\mathrm{PPCM}(8, 12) = 24$
• Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $\mathrm{PPCM}(a, b) = a \times b$

3. Décomposition en facteurs premiers

Tout entier $\ge 2$ est soit :

• un nombre premier
• un produit de facteurs premiers

Exemple :

• $600 = 2^3 \times 3 \times 5^2$

Règles de calcul :

• $\mathrm{PGCD}(a, b)$ = produit des facteurs communs avec leur plus petit exposant
• $\mathrm{PPCM}(a, b)$ = produit de tous les facteurs présents, avec leur plus grand exposant

Exemple final :

• $225 = 3^2 \times 5^2$
• $540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

Alors :

• $\mathrm{PGCD}(225, 540) = 3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45$
• $\mathrm{PPCM}(225, 540) = 2^2 \times 3^3 \times 5^2 = 2700$

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