Exercice 5

1. Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=-x^2+2x$ $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ avec ($\|\vec{i}\|=2cm$ et $\|\vec{j}\|=2cm$)

Calculer l'aire u domaine situé entre la courbe $(C_f)$, l’axe des abscisses et les droites d’équations : $x = 0$ et $x = 3$ 2. $f$ et $g$ deux fonctions telles que : $f(x)=cos(x)$ et $g(x)=sin(x)$ $(O,\vec{i},\vec{j})$ repère orthonormé ($\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1cm$)

Calculer l'aire du domaine situé entre la courbe $(C_f)$ et la courbe $(C_g)$ et les droites d’équations : $x = -\frac\pi2$ et $x = \frac{3\pi}{4}$

Correction

**1/** L’aire du domaine situé entre la courbe $(C_f)$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = 0$ et $x = 3$ est : $$ \mathcal{A}=\int_{0}^{3}\left|f(x)\right|dx .\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\| =4\int_{0}^{3}\left|f(x)\right|dx\cdot cm^2 $$

$$ \begin{align*} \int_{0}^{3}\left|f(x)\right|dx &= \int_{0}^{2}\left|f(x)\right|dx + \int_{2}^{3}\left|f(x)\right|dx \\ &= \int_{0}^{2}f(x)dx - \int_{2}^{3}f(x)dx \\ &= \int_{0}^{2}(-x^2+2x)dx - \int_{2}^{3}(-x^2+2x)dx \\ &=\left[-\frac{x^3}3+x^2\right]^2_0 - \left[-\frac{x^3}3+x^2\right]^3_2 \\ &=-\frac83+4-(-9+9+\frac83-4) \\ &=\frac{8}3 \end{align*} $$ $$ \mathcal{A}=\frac{32}3cm^2 $$ --- **2/** L’aire du domaine situé entre la courbe $(C_f)$ et la courbe $(C_g)$ et les droites d’équations $x = -\frac\pi2$ et $x = \frac{3\pi}{4}$ est : $$ \begin{align*} \mathcal{A}&=\int_{-\frac\pi2}^{\frac{3\pi}{4}}\left|f(x)-g(x)\right|dx .\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\|\\ &=\int_{-\frac\pi2}^{\frac{3\pi}{4}}\left|f(x)-g(x)\right|dx\cdot cm^2 \end{align*} $$

- Sur l'intervalle $]-\frac\pi2,\frac\pi4[$ la courbe de $\cos$ est située au dessus de la courbe de $\sin$ - Sur l'intervalle $]\frac\pi4,\frac{3\pi}4[$ la courbe de $\sin$ est située au dessus de la courbe de $\cos$ $$ \begin{align*} \int_{-\frac\pi2}^{\frac{3\pi}{4}}\left|\cos(x)-\sin(x)\right|dx &=\int_{-\frac\pi2}^{\frac{\pi}{4}}\left|\cos(x)-\sin(x)\right|dx +\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\left|\cos(x)-\sin(x)\right|dx \\ &=\int_{-\frac\pi2}^{\frac{\pi}{4}}\cos(x)-\sin(x)dx -\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\cos(x)-\sin(x)dx \\ &=\left[\sin x+\cos x\right]_{-\frac\pi2}^{\frac\pi4} -\left[\sin x+\cos x\right]_{\frac\pi4}^{\frac{3\pi}4} \\&=2\sqrt2+1 \end{align*} $$ $$ \mathcal{A}=(2\sqrt2+1)cm^2 $$