📌 Résumé, Équations différentielles

#2bacsef

Sommaire

1) Équation différentielle linéaire du premier ordre

  • Définition: y′=ay+by' = ay + b

    où a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} et yy est une fonction dérivable.

  • Solution générale (si a≠0a \ne 0) :

    y=Keax−bay = Ke^{ax} - \frac{b}{a}

    Si a=0a = 0, alors y′=by' = b donc :

    y=bx+cy = bx + c

  • Exemple : y′=2y+3y' = 2y + 3

    • Solution générale : y=ke2x−32y = ke^{2x} - \frac{3}{2}
    • Si f(0)=2f(0) = 2 alors k=72k = \frac{7}{2}

      ⟹  \implies f(x)=72e2x−32f(x) = \frac{7}{2}e^{2x} - \frac{3}{2}

2) Équation différentielle linéaire du second ordre

  • Forme générale : y′′+ay′+by=0y'' + ay' + by = 0

    où a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, yy est deux fois dérivable.

  • Équation caractéristique :

    r2+ar+b=0 Δ=a2−4br^2 + ar + b = 0 \\~\\ \Delta=a^2-4b
  • Si Δ>0\Delta > 0, alors r1,r2=−b±Δ2ar_1,r_2=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}
    y=αer1x+βer2xy = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}
  • Si Δ=0\Delta = 0, alors r=−b2ar=\dfrac{-b}{2a}
y=(αx+β)erxy = (\alpha x + \beta) e^{rx}
  • Si Δ<0\Delta < 0, alors r=−b±i∣Δ∣2a=p±iqr=\frac{-b\pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=p\pm i q
y=epx(αcos⁡(qx)+βsin⁡(qx))y = e^{px} \left( \alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx) \right)
  • Exemple 1

Équation : y′′−3y′+2y=0y'' - 3y' + 2y = 0

r2−3r+2=0r^2-3r+2=0
  ⟹  Δ=1>0, r1=2, r2=1\implies \Delta = 1 > 0,~ r_1 = 2,~ r_2 = 1
  • Solution générale : y=αex+βe2xy = \alpha e^x + \beta e^{2x}
  • Si gg solution particulier tel que : g(0)=−3g(0) = -3 et g′(0)=−2g'(0) = -2
y′=αex+2βe2xy'=\alpha e^x + 2\beta e^{2x}
g(0)=−3  ⟹  α+β=−3g(0) = -3 \implies \alpha +\beta=-3
g′(0)=−2  ⟹  α+2β=−2g'(0) = -2 \implies \alpha +2\beta=-2
  ⟹  α=−4, β=1\implies \alpha=-4,~\beta=1
  ⟹  g(x)=e2x−4ex\implies g(x) = e^{2x} - 4e^x
  • Exemple 2

Équation : 4y′′+4y′+y=04y'' + 4y' + y = 0

  ⟹  \implies Δ=0\Delta = 0, r=−12r = -\frac{1}{2}

  • Solution générale : y=(αx+β)e−12xy = (\alpha x + \beta)e^{-\frac{1}{2}x}

  • Si f(0)=1f(0) = 1, f′(0)=−2f'(0) = -2   ⟹  \implies f(x)=(−32x+1)e−12xf(x) = \left( -\frac{3}{2}x + 1 \right)e^{-\frac{1}{2}x}

  • Exemple 3

Équation : y′′+y′+y=0y'' + y' + y = 0

  ⟹  \implies Δ=−3<0\Delta = -3 < 0

  • Racines : r=−12±i32r = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}

  • Solution générale :

y=e−12x(αcos⁡(32x)+βsin⁡(32x))y = e^{-\frac{1}{2}x} \left( \alpha \cos\left( \frac{\sqrt{3}}{2}x \right) + \beta \sin\left( \frac{\sqrt{3}}{2}x \right) \right)