Équations différentielles

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Sommaire

1) Équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants

Définition 1

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants toute équation de la forme :

y′=ay+by' = ay + b

où yy est une fonction, et aa et bb sont des nombres réels.

Exemple 1

L’équation : y′=2y+3y' = 2y + 3

est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

Définition 2

Résoudre une équation de la forme : y′=ay+by' = ay + b, c’est déterminer toutes les fonctions ff dérivables sur R\mathbb{R} qui vérifient :

f′(x)=af(x)+bf'(x) = af(x) + b

Ces fonctions sont appelées solutions de l’équation y′=ay+by' = ay + b.

Vocabulaire

  • L’ensemble des solutions d’une équation différentielle s’appelle :
    La solution générale de l’équation différentielle.
  • Toute fonction, solution de l’équation différentielle est appelée :
    Solution particulière de l’équation différentielle.
  • On obtient une solution particulière à partir de conditions initiales.

Propriété 1

La solution générale de l’équation différentielle :

y′=ay+baveca,b∈R, a≠0y' = ay + b \quad \text{avec} \quad a, b \in \mathbb{R}, \ a \ne 0

est donnée par :

y=Keax−baouˋ K∈Ry = Ke^{ax} - \frac{b}{a} \quad \text{où} \ K \in \mathbb{R}

📌 Remarque

Si a=0a = 0, alors l’équation différentielle devient : y′=by' = b
Donc, dans ce cas, on cherche des primitives :
⇒y=bx+cavec c∈R\Rightarrow y = bx + c \quad \text{avec} \ c \in \mathbb{R}

Exemple 2

  1. Résoudre l’équation différentielle : (E):y′=2y+3(E) : y' = 2y + 3
  2. Déterminer la solution particulière ff de (E)(E) telle que f(0)=2f(0) = 2

Correction

  1. L’équation (E)(E) est du premier ordre avec a=2a = 2 et b=3b = 3
    La solution générale est :
    y=ke2x−32ouˋ k∈Ry = ke^{2x} - \frac{3}{2} \quad \text{où} \ k \in \mathbb{R}
  2. On cherche ff telle que :
    f(x)=ke2x−32f(x) = ke^{2x} - \frac{3}{2}
    En utilisant f(0)=2f(0) = 2 :
    ke0−32=2⇒k=72ke^0 - \frac{3}{2} = 2 \Rightarrow k = \frac{7}{2}
    Donc :
    f(x)=72e2x−32f(x) = \frac{7}{2}e^{2x} - \frac{3}{2}

Exemple 3

  1. Résoudre l’équation différentielle : (E):y′+2y=4(E) : y' + 2y = 4
  2. Déterminer la solution particulière gg telle que sa courbe (Cg)(C_g) passe par le point A(−ln⁡(2),6)A(-\ln(2), 6)

Correction

  1. On réécrit (E)(E) :
    y′=−2y+4⇒a=−2, b=4y' = -2y + 4 \quad \Rightarrow a = -2, \ b = 4
    Solution générale :
    y=ke−2x+2ouˋ k∈Ry = ke^{-2x} + 2 \quad \text{où} \ k \in \mathbb{R}
  2. On cherche gg telle que :
    g(x)=ke−2x+2g(x) = ke^{-2x} + 2
    Avec g(−ln⁡(2))=6g(-\ln(2)) = 6 :
    ke2ln⁡(2)+2=6⇒k⋅4=4⇒k=1ke^{2\ln(2)} + 2 = 6 \Rightarrow k \cdot 4 = 4 \Rightarrow k = 1
    Donc :
    g(x)=e−2x+2g(x) = e^{-2x} + 2

Définition 3

Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est une équation de la forme :

y′′+ay′+by=cy'' + ay' + by = c

où a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} et yy est une fonction deux fois dérivable.

2) Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

Définition 4

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants toute équation de la forme :

y′′+ay′+by=0y'' + ay' + by = 0

où yy est une fonction, y′y' sa dérivée première, y′′y'' sa dérivée seconde et aa, bb sont des nombres réels.

Exemple 4

L’équation :

y′′+3y′+4y=0y'' + 3y' + 4y = 0

est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.

Définition 5

Résoudre une équation de la forme :

y′′+ay′+by=0y'' + ay' + by = 0

c’est déterminer toutes les fonctions ff deux fois dérivables sur R\mathbb{R} vérifiant :

f′′(x)+af′(x)+bf(x)=0f''(x) + af'(x) + bf(x) = 0

Définition 6

L’équation :

r2+ar+b=0r^2 + ar + b = 0

où rr est l’inconnue, s’appelle l’équation caractéristique de l’équation différentielle

y′′+ay′+by=0y'' + ay' + by = 0

Exemple 5

L’équation différentielle :

y′′+3y′+4y=0y'' + 3y' + 4y = 0

a pour équation caractéristique :

r2+3r+4=0r^2 + 3r + 4 = 0

Propriété 2

Soit l’équation différentielle (E):y′′+ay′+by=0(E) : y'' + ay' + by = 0 et son équation caractéristique r2+ar+b=0r^2 + ar + b = 0 avec a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Trois cas se présentent :

  • Si a2−4b>0a^2 - 4b > 0, alors l’équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes r1r_1 et r2r_2.
    La solution générale est :

    y=αer1x+βer2xavec α,β∈Ry = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x} \quad \text{avec } \alpha, \beta \in \mathbb{R}

  • Si a2−4b=0a^2 - 4b = 0, alors elle admet une solution réelle double rr.
    La solution générale est :

    y=(αx+β)erxavec α,β∈Ry = (\alpha x + \beta) e^{rx} \quad \text{avec } \alpha, \beta \in \mathbb{R}

  • Si a2−4b<0a^2 - 4b < 0, alors les solutions sont complexes conjuguées r1=p+iqr_1 = p + iq et r2=p−iqr_2 = p - iq.
    La solution générale est :

    y=epx(αcos⁡(qx)+βsin⁡(qx))avec α,β∈Ry = e^{px} \left( \alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx) \right) \quad \text{avec } \alpha, \beta \in \mathbb{R}

Exemple 6 [2016 S.O]

  1. Résoudre l’équation différentielle :
    (E):y′′−3y′+2y=0(E) : y'' - 3y' + 2y = 0
  2. Déterminer la solution gg telle que g(0)=−3g(0) = -3 et g′(0)=−2g'(0) = -2

Correction

  1. Équation caractéristique :

    r2−3r+2=0⇒Δ=1>0r^2 - 3r + 2 = 0 \quad \Rightarrow \Delta = 1 > 0
    r1=2,r2=1r_1 = 2, \quad r_2 = 1

    Donc la solution générale est :

    y(x)=αex+βe2xy(x) = \alpha e^x + \beta e^{2x}

  2. On cherche g(x)=αex+βe2xg(x) = \alpha e^x + \beta e^{2x} telle que :

    g(0)=−3,g′(0)=−2g(0) = -3, \quad g'(0) = -2
    g′(x)=αex+2βe2xg'(x) = \alpha e^x + 2\beta e^{2x}

    À x=0x = 0 :

    {α+β=−3α+2β=−2⇒{α=−4β=1\begin{cases} \alpha + \beta = -3 \\ \alpha + 2\beta = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha = -4 \\ \beta = 1 \end{cases}

    Donc :

    g(x)=e2x−4exg(x) = e^{2x} - 4e^x

Exemple 7

  1. Résoudre l’équation différentielle :
    (E):4y′′+4y′+y=0(E) : 4y'' + 4y' + y = 0
  2. Déterminer la solution ff telle que f(0)=1f(0) = 1 et f′(0)=−2f'(0) = -2

Correction

  1. Équation caractéristique :

    4r2+4r+1=0⇒Δ=04r^2 + 4r + 1 = 0 \Rightarrow \Delta = 0
    r=−12r = -\frac{1}{2}

    Solution générale :

    y(x)=(αx+β)e−12xy(x) = (\alpha x + \beta) e^{-\frac{1}{2}x}

  2. On cherche f(x)=(αx+β)e−12xf(x) = (\alpha x + \beta) e^{-\frac{1}{2}x} avec :

    f′(x)=(−12αx+α−12β)e−12xf'(x) = \left( -\frac{1}{2} \alpha x + \alpha - \frac{1}{2} \beta \right) e^{-\frac{1}{2}x}

    À x=0x = 0 :

    {f(0)=β=1f′(0)=α−12β=−2⇒{β=1α=−32\begin{cases} f(0) = \beta = 1 \\ f'(0) = \alpha - \frac{1}{2}\beta = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \beta = 1 \\ \alpha = -\frac{3}{2} \end{cases}

    Donc :

    f(x)=(−32x+1)e−12xf(x) = \left( -\frac{3}{2}x + 1 \right) e^{-\frac{1}{2}x}

Exemple 8

Résoudre l’équation différentielle :
(E):y′′+y′+y=0(E) : y'' + y' + y = 0

Correction

  • Équation caractéristique :
    r2+r+1=0⇒Δ=−3<0r^2 + r + 1 = 0 \Rightarrow \Delta = -3 < 0
  • Solutions complexes :
    r1=−12+i32,r2=−12−i32r_1 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad r_2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}
  • Solution générale :
    y(x)=e−12x(αcos⁡(32x)+βsin⁡(32x))y(x) = e^{-\frac{1}{2}x} \left( \alpha \cos\left( \frac{\sqrt{3}}{2}x \right) + \beta \sin\left( \frac{\sqrt{3}}{2}x \right) \right)