Calcul de probabilités

I. Cardinal d’un ensemble fini

Définition

Le nombre d’éléments d’un ensemble $E$ est appelé cardinal de $E$, noté $Card(E)$ ou $|E|$.

Exemple

• Si $A=\left\{1;2;4;7\right\}$ alors $card\left(A\right)=4$
• $B=\left\{n\in\mathbb{N}\ /\ \ 5\le n\le19\right\}$ Alors : $card\left(B\right)=19-5+1=15$

Propriété

$A$ et $B$ deux ensembles d’un ensemble finie $E$

• $card\left(A\cup B\right)=card\left(A\right)+card\left(B\right)-card\left(A\cap B\right)$
• $card\left(\overline{A}\right)=cardE-card\left(A\right)$

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Exemple

Dans une association sportive de 100 membres, 40 personnes font du football et 30 font du basketball. Combien pratiquent les deux sports sachant que tout le monde en pratique au moins un ?

Correction

• $\Omega$ l’ensemble des membres de l’association on a $\Omega=F\cup G$ et $card(\Omega)=100$
• $F$ l’ensemble des membres qui pratiquent le football on a $card(F)=40$
• $B$ l’ensemble des membres qui pratiquent le basket-ball on a $card(B)=30$
• $F\cap B$ l’ensemble des membres qui pratiquent les deux sports

On a

Donc :

II. Le dénombrement

1) « Principe fondamental du dénombrement »

Considérons $p$ choix si : \begin{itemize}

• le premier choix se fait de $n_1$ méthodes
• le deuxième choix se fait de $n_2$ méthodes
• $~~~~~~~~\vdots$ $~~~~~~~~~~~~~~ \vdots$
• le choix $p$ se fait de $n_p$ méthodes

Le nombre de méthodes de ce choix est :

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Application et exemple

Voir les urnes suivantes :

Ahmed veut choisir trois boules (une boule de chaque urne) ; combien de choix possibles ?

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Ahmed a :

• 3 choix possibles pour l’une 1
• 2 choix possibles de l’urne 2
• 2 choix possible de l’urne 3

D’après le principe fondamental du dénombrement : Le nombre de choix possibles est : $2\times3\times2=12$

Pratiquement les choix possibles sont :

2) Les arrangements

Soient $n;p\in\mathbb{N}\ \$ avec $\left(1\le p\le n\right)$

Le nombre d’arrangements de p éléments parmi n éléments est : $A_n^p=n(n-1)\cdot\cdot\cdot\left(n-p+1\right)$

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Exemple

Combien de nombres composés de 2 chiffres à partir des chiffres 1, 3 et 4 « le chiffre ne se répète pas dans le nombre crée»

Correction : C’est le nombre d’arrangements de 2 chiffres parmi 3 chiffres donc : $A_3^2=3\times2=6$

3) Les permutations

Chaque arrangement de n éléments parmi n s’appelle permutation de n éléments

Le nombre de permutations de $n$ éléments est : $n!=1\times2\times3\times\cdot\cdot\cdot\times n$

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Exemple

De combien de méthodes différentes on peut distribuer 3 personnes A, B et C à trois chaises numérotées de 1 à 3

Correction $3!=3\times2\times1=6$

4) Les combinaisons

$E$ ensemble tel que $card(E)=n$

Chaque partie de $E$ contient $p$ éléments $\left(p\le n\right)$ cette partie s’appelle combinaison de $p$ éléments parmi $n$ éléments

Propriété

Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n éléments $\left(p\le n\right)$ est : $C_n^p=\dfrac{n!}{p!\left(n-p\right)!}$

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Exemple

Une caisse contient 4 boules rouges 3 boules noires

on tire de la caisse 3 boules simultanément

1. Quel est le nombre de tirages possibles
2. Quel est le nombre de tirages pour qu’il y ait parmi les boules tirées strictement une boule
3. Quel est le nombre de tirages pour qu’il y ait parmi les boules tirées au moins une boule rouge

Correction

1. Chaque tirage est une combinaison de 3 boules parmi 7

   Le nombre de tirages possibles est : $C_7^3$

2. une boule rouge et deux boules noires : $C_4^1\times C_3^2$

3. « une boule rouge et deux boules noires »

   ou « deux boules rouges et une noire »

   ou « 3 boules rouges »

   $$C_4^1\times C_3^2+C_4^2\times C_3^1+C_4^3$$

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Exercice

Une urne contient : quatre boules noires et 3 blanches, Déterminer Le nombres de cas possibles

1. Si on tire 3 boules de la caisse Successivement sans remise
2. Si on tire 3 boules de la caisse Successivement avec remise
3. Si on tire 3 boules de la caisse simultanément

Correction

1. Si on tire 3 boules de la caisse Successivement sans remise

   Le nombres de cas possibles est :

   $$7\times6\times5=A_7^3$$

2. Si on tire 3 boules de la caisse Successivement avec remise

   Le nombres de cas possibles est :

   $$7\times7\times7=7^3$$

3. Si on tire 3 boules de la caisse simultanément

   Le nombres de cas possibles est :

   $$C_7^3=\frac{A_7^3}{3!}=\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35$$

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De manière générale :

Soient $\mathbf{n}, \mathbf{p} \in \mathbb{N}$ avec $\left(1 \le \mathbf{p} \le \mathbf{n} \right)$.

On tire $p$ boules d’une caisse qui contient $n$ boules.

III. Calcul de probabilités

1. L’Expérience Aléatoire
   C’est une expérience dont le résultat peut changer à chaque répétition de l’expérience.

2. L’éventualité
   C’est chaque résultat possible.

3. Univers des éventualités
   C’est l’ensemble de toutes les éventualités possibles. On le note $\Omega$.

4. L’évènement
   C’est une partie de $\Omega$.

5. Réalisation d’un évènement
   C’est quand le résultat de l’expérience appartient à l’évènement.

6. L’évènement certain
   C’est : $\Omega$
   Car le résultat de l’expérience appartient toujours à $\Omega$.

7. L’évènement impossible
   C’est : $\emptyset$
   Car jamais le résultat n’appartient à $\emptyset$.

8. L’évènement élémentaire
   C’est un évènement se composant d’un unique élément.

9. L’évènement contraire
   L’évènement $A$ est contraire à l’évènement $B$ signifie :

   $$A \cap B = \emptyset \quad \text{et} \quad A \cup B = \Omega$$

   L’un des deux se réalise obligatoirement.
   On note : $\overline{B} = A$ ou $\overline{A} = B$.

10. Compatibilité de deux évènements
    Les deux évènements $A$ et $B$ sont non compatibles signifie :

    $$A \cap B = \emptyset$$

    C’est-à-dire que les deux évènements ne peuvent pas se réaliser en même temps.

11. Probabilité de l’évènement élémentaire
    Supposons que :

    $$\Omega = \{ a_1, a_2, \ldots, a_n \}, \quad p_i \in [0,1], \quad \sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$

    On pose : $p(\{ a_i \}) = p_i$

    • $p$ s’appelle probabilité
    • $p_i$ est la probabilité de l’évènement élémentaire
    • La paire $(\Omega, P)$ s’appelle espace probabilisé fini

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✳️ Eemple

On jete un dé 🎲 équilibré (non truqué), c’est-à-dire que :

• Chaque face du dé a une probabilité égale d’apparaître.
• L’expérience peut produire un résultat différent à chaque lancer.

donc on a :

1. Jeter un dé est une expérience aléatoire.

2. L’apparition du numéro 1 est une éventualité.
   L’apparition du numéro 4 est une éventualité.

3. $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

4. L’événement $C$ : « obtenir un nombre impair »
   $C = \{1, 3, 5\}$

5. Si le résultat est 3, alors l’événement $C$ est réalisé.

6. L’événement $D$ : « obtenir un nombre inférieur à 7 »
   $D = \Omega$

7. L’événement $E$ : « obtenir un nombre supérieur à 8 »
   $E = \emptyset$

8. L’événement $F$ : « obtenir un nombre impair supérieur à 4 »
   $F = \{5\}$

9. L’événement $G$ : « obtenir un nombre pair »
   $G = \{2, 4, 6\}$
   $C \cup G = \Omega$
   $C \cap G = \emptyset$
   Donc : $C$ et $G$ sont contraires.

10. $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

    $$\begin{aligned} &P(1) = \frac{1}{6}, \quad P(2) = \frac{1}{6}, \quad P(3) = \frac{1}{6}, \\ &P(4) = \frac{1}{6}, \quad P(5) = \frac{1}{6}, \quad P(6) = \frac{1}{6} \end{aligned}$$

11. $P(C) = P(1) + P(3) + P(5)$
    $P(C) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$

12. Probabilité d’un événement
    La probabilité d’un événement $A$ est la somme des probabilités de ses événements élémentaires.
    On la note : $P(A)$

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📝 Remarques

1. $P(\Omega) = 1$ ,  $P(\emptyset) = 0$
2. Si toutes les probabilités des événements élémentaires sont égales, alors :
   $$P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$

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✔️ Exemple

Dans l’exemple précédent :

• $$P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}$$
• $$P(C) = P(1) + P(3) + P(5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$$

  ou bien :

  $$P(C) = \frac{\text{card}(C)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{3}{6}$$

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Propriété opérations sur la probabilité

• $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$
• $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$
• $P\left(A-B\right)=P\left(A\right)-P\left(A\cap B\right)$

IV. La probabilité conditionnel

Propriété

A et B deux évènements tel que $P\left(A\right)\neq0$

$P_A\left(B\right)$ est la probabilité de B sachant que A est réalisé

• $P_A\left(B\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$
• $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_A\left(B\right)$

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📌 Remarques

1. Si toutes les probabilités des événements élémentaires sont égales, alors :
   $P_A\left(B\right) = \frac{\text{card}\left(A \cap B\right)}{\text{card}(A)}$

2. Si :

   $$P\left(A \cap B\right) = P\left(A\right) \times P\left(B\right)$$

   Cela signifie :

   $$P_A\left(B\right) = P\left(B\right)$$

   Alors : $A$ et $B$ sont deux événements indépendants.

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V. 🎲 Variables Aléatoires

Définition

Une variable aléatoire est une application $X$ de l’univers des événements ${\Omega}$ vers l’ensemble des réels $\mathbb{R}$.

$$X: {\Omega} \rightarrow \mathbb{R}$$

1) Loi de Probabilité de la Variable Aléatoire

C’est l’application $f$ définie par :

2) Moyennes d’une Variable Aléatoire

• Espérance mathématique :

  $$E(X) = \sum_{i=1}^{n} P_i X_i$$

• Variance :

  $$V(X) = \sum_{i=1}^{n} P_i \left( X_i - E(X) \right)^2 = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2$$

• Écart type :

  $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$

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3) 🎲 Variable Aléatoire Binomiale

Proposition

1. Soit $A$ un événement de probabilité $p$ dans une expérience aléatoire.
   Si cette expérience est répétée $n$ fois, alors la probabilité de la réalisation de $A$ exactement $k$ fois (avec $k \leq n$) est donnée par :

   $$C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \quad \text{(disjonction des probabilités)}$$

2. Soit $X$ le nombre de fois où l’événement $A$ se réalise.
   $X$ suit une variable aléatoire binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée :

   $$X \sim B(n, p)$$

Propriétés de la Loi Binomiale

• $P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
• $E(X) = np$
• $V(X) = np(1-p)$

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🎯 Exercice

Une caisse contient 5 boules blanches, 12 noires et 3 rouges.
On tire 8 boules successivement avec remise.

1. Considérons l’événement $B$ : « obtenir strictement 6 boules blanches ».
   Calculer : $P(B)$
2. Considérons : $X$ le nombre de fois que la boule blanche apparaît.
   Calculer : $P(X = 6)$, $E(X)$, $V(X)$

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✅ Correction

• L’expérience est le tirage d’une boule.
• L’expérience est répétée $n = 8$ fois.
• Soit $A$ : « obtenir une boule blanche »
• Soit $B$ : « réalisation de $A$ exactement $k = 6$ fois »

On a : $P(A) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

Donc :

$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 8$, $p = \frac{1}{4}$.

Ainsi :

• $P(X = 6) = C_8^6 \cdot p^6 \cdot (1 - p)^2$
• $E(X) = 8 \times \frac{1}{4} = 2$
• $V(X) = 8 \times \frac{1}{4} \times \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{2}$

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🎯 Interprétation directe par dénombrement

• ${q = \text{R ou N}}$ : le nombre total de boules non blanches est $15$.
• $|\Omega| = 20^8$ (nombre total de tirages possibles à 8 boules avec remise)
• Nombre de cas favorables :
  $$\text{card}(B) = C_8^6 \cdot 5^6 \cdot 15^2$$

Donc :

VI. Arbres de probabilité

Définition

Un arbre de probabilité est une représentation graphique d’une expérience aléatoire composée de plusieurs étapes. Chaque branche correspond à un résultat possible à une étape, et est associée à une probabilité.

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Règles d’un arbre

• La somme des probabilités issues d’un même nœud est égale à 1.
• La probabilité d’un chemin (ou d’un événement) est le produit des probabilités le long des branches suivies.

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