Intégration par parties

#2bacsef

Sommaire

Soient uu et vv deux fonctions dérivables sur un intervalle II, et supposons que u′u' et v′v' soient continues sur II. Soient aa et bb deux éléments de II. On a, pour tout x∈Ix \in I, la relation :

(u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'

Cela nous permet d’exprimer u⋅v′u \cdot v' sous la forme :

u⋅v′=(u⋅v)′−u′⋅vu \cdot v' = (u \cdot v)' - u' \cdot v

En appliquant l’intégrale à cette expression, on obtient :

∫u⋅v′ dx=∫(u⋅v)′ dx−∫u′⋅v dx\int u \cdot v' \, dx = \int (u \cdot v)' \, dx - \int u' \cdot v \, dx

Alors, on arrive à la formule d’intégration par parties :

∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx\int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, dx

Cette égalité est appelée intégration par parties.

Application 5

En utilisant une intégration par parties calculer :

I=∫0πx.sin(x)dxI=\int_{0}^{\pi}x.sin(x)dx
J=∫1eln(x)dxJ=\int_{1}^{e}ln(x)dx
K=∫01(x−1)e−xdxK=\int_{0}^{1}(x-1)e^{-x}dx
  • Calcul de II :
I=∫0πxsin⁡(x) dx Choisissons u=x et v′=sin⁡(x)  ⟹  u′=1,v=−cos⁡(x) I=[−xcos⁡(x)]0π+∫0πcos⁡(x) dx=[−πcos⁡(π)+0cos⁡(0)]+[sin⁡(x)]0π=π+(0−0)=π\begin{align*} I &= \int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx \\~\\ &\text{Choisissons } u = x \text{ et } v' = \sin(x) \\ &\implies u' = 1, \quad v = -\cos(x) \\~\\ I&= \left[ -x \cos(x) \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx \\ &= [-\pi \cos(\pi) + 0 \cos(0)] + [\sin(x)]_{0}^{\pi} \\ &= \pi + (0 - 0) \\ &= \pi \end{align*}
  • Calcul de JJ :
J=∫1eln⁡(x) dx Choisissons u=ln⁡(x) et v′=1  ⟹  u′=1x,v=x J=[xln⁡(x)]1e−∫1ex⋅1x dx=[eln⁡(e)−1ln⁡(1)]−[x]1e=e−0−(e−1)=1\begin{align*} J &= \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx \\~\\ &\text{Choisissons } u = \ln(x) \text{ et } v' = 1 \\ &\implies u' = \frac{1}{x} , \quad v = x \\~\\ J&= \left[ x \ln(x) \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= [e \ln(e) - 1 \ln(1)] - [x]_{1}^{e} \\ &= e - 0 - (e - 1) \\ &= 1 \end{align*}
  • Calcul de KK :
K=∫01(x−1)e−x dx Choisissons u=x−1 et v′=e−x  ⟹  u′=1,v=−e−x =[(x−1)(−e−x)]01+∫01(−e−x) dx=[−e−1+e−0]+[−e−x]01=[−e−1+1]−(−e−1+1)=1+e−1\begin{align*} K &= \int_{0}^{1} (x-1) e^{-x} \, dx \\~\\ &\text{Choisissons } u = x-1 \text{ et } v' = e^{-x} \\ &\implies u' = 1, \quad v = -e^{-x} \\~\\ &= \left[ (x-1)(-e^{-x}) \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} (-e^{-x}) \, dx \\ &= [-e^{-1} + e^{-0}] + \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{1} \\ &= [-e^{-1} + 1] - (-e^{-1} + 1) \\ &= 1 + e^{-1} \end{align*}