La valeur de moyenne d'une fonction

#2bacsef

Sommaire

Théorème et définition

Si ff est une fonction continues sur un intervalle [a,b][a,b], alors il existe au moins un réel cc dans [a;b][a ; b]. tel que :

f(c)=1b−a∫abf(x)dxf(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx
  • 1b−a∫abf(x)dx\displaystyle\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx \quad : s’appelle la valeur moyenne de ff sur [a;b][a ; b]

Application 4

On considére la fonction numérique définie sur R−{−1}\R-\{-1\} par: f(x)=11+xf(x)=\dfrac{1}{1+x}

Déterminer, la valeur moyenne de ff sur [0;e2−1][0;e^2-1]

La formule de la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle [a,b][a, b] :

Valeur moyenne=1b−a∫abf(x) dx\text{Valeur moyenne} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx

Ici, a=0a = 0 et b=e2−1b = e^2 - 1 et b−a=e2−1b-a=e^2-1

Donc, nous devons calculer :

Valeur moyenne=1e2−1∫0e2−111+x dx\text{Valeur moyenne} = \frac{1}{e^2 - 1} \int_{0}^{e^2 - 1} \frac{1}{1+x} \, dx
∫0e2−111+x dx=[ln⁡∣1+x∣]0e2−1=ln⁡∣1+e2−1∣=ln⁡∣e2∣−ln⁡∣1∣=ln⁡(e2)=2ln⁡(e)=2\begin{align*} \int_{0}^{e^2 - 1} \frac{1}{1+x} \, dx &= \left[ \ln|1+x| \right]_{0}^{e^2 - 1} \\ & = \ln|1 + e^2 - 1| \\ & = \ln|e^2| - \ln|1| \\ & = \ln(e^2)= 2 \ln(e) \\ & = 2 \end{align*}
Valeur moyenne=1e2−1⋅2=2e2−1\text{Valeur moyenne} = \frac{1}{e^2 - 1} \cdot 2= \frac{2}{e^2 - 1}

Par conséquent, la valeur moyenne de f(x)=11+xf(x) = \dfrac{1}{1+x} sur l’intervalle [0;e2−1][0; e^2 - 1] est 2e2−1\dfrac{2}{e^2 - 1}.