Intégrales et ordre

#2bacsef

Sommaire

Propriété

Soient ff et gg deux fonctions continues sur un intervalle II et a,b∈Ia,b\in I avec a≤ba\le b

  • Si ff est positive sur [a;b][a ; b], alors
∫abf(x)dx≥0\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \ge 0
  • Si ∀x∈[a;b]  f(x)≤g(x)\forall x\in[a ; b]~~f(x)\le g(x), alors
∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \le \int_{a}^{b}g(x)dx
  • ∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx\displaystyle\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right| \le \int_{a}^{b}|f(x)|dx

Remarque

Les réciproques de chacun des points 1 et 2 de la propriété précédente sont fausses.

Par exemple :

  • on a ∫−122xdx=[x2]−12=3\displaystyle\int_{-1}^{2}2xdx=\left[x^2\right]^{2}_{-1}=3 mais la fonction x↦2xx\mapsto 2x n’est pas positive sur [−1,2][-1,2]
  • De même :
    ∫021dx≤∫02x2dx\int_{0}^{2}1dx\le \int_{0}^{2}x^2dx
    car :
    ∫021dx=2 et ∫02x2dx=[x33]02=83\int_{0}^{2}1dx=2\text{ et } \int_{0}^{2}x^2dx=\left[\frac{x^3}{3} \right]^2_0=\frac83
    mais x2x^2 n’est pas toujours supérieure à 11 sur [0;2][0 ; 2].

Application 3

Montrer que 1e≤∫01e−x2dx≤1\displaystyle\frac1e\le\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx\le1

0≤x≤1  ⟹  0≤x2≤1  ⟹  −1≤−x2≤0\begin{align*} 0\le x\le 1 &\implies 0\le x^2\le 1\\ &\implies -1\le -x^2\le 0 \end{align*}

et puisque la fonction x↦exx\mapsto e^x est croissante alors :

e−1≤e−x2≤e0e^{-1}\le e^{-x^2}\le e^0

Donc

∫01e−1dx≤∫01e−x2dx≤∫01e0dx\int_{0}^{1}e^{-1}dx \le \int_{0}^{1}e^{-x^2}dx \le \int_{0}^{1}e^0dx
e−1∫011dx≤∫01e−x2dx≤∫011dxe^{-1}\int_{0}^{1} 1dx \le \int_{0}^{1}e^{-x^2}dx \le \int_{0}^{1}1dx

et on a : ∫011dx=[x]01=1\displaystyle\int_{0}^{1} 1dx=[x]^1_0=1

Alors

1e≤∫01e−x2dx≤1\frac1e\le\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx\le1