Intégration d'une fonction continue

#2bacsef

Sommaire

Activité

Le plan est muni d’un repère orthonormé \rep, (∥i∥=∥j∥=1cm\|i\|=\|j\|=1cm)

On considère la fonction ff définie sur R\R par : f(x)=2f(x)=2 et on note (C)(C) sa courbe représentative.

Soit RR la partie du plan limitée par (C)(C) , l’axe des abscisses , et les droites d’équations : x=−1x = −1 et x=2x = 2.

  1. Calculer l’aire AA en cm²cm² de RR.
  2. Déterminer une primitive FF de ff sur R\R et calculer F(2)−F(−1)F(2) - F(-1).
  3. Déterminer une autre primitive GG de ff sur R\R et calculer G(2)−G(−1)G(2) - G(-1).
dvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 3xyO⃗j⃗i(C)x=−1x=2
  1. L’aire de la partie RR est : A=3×2=6cm2A=3\times2=6cm^2
  2. Les fonctions primites de ff sur R\R sont de la formes :
    x↦2x+c  avec  c∈Rx\mapsto 2x+c~~ avec ~~ c\in\R
    Prenons par exemple : F:x↦2x+1F:x\mapsto2x+1
    F(2)−F(−1)=2×2+1−(2×(−1)+1)=6\begin{align*} F(2)-F(-1)&=2\times2+1-(2\times(-1)+1)\\&=6 \end{align*}
  3. Prenons par exemple : G:x↦2x−2G:x\mapsto2x-2
    G(2)−G(−1)=2×2−2−(2×−1−2)=6\begin{align*} G(2)-G(-1)&=2\times2-2-(2\times-1-2)\\ &=6 \end{align*}

Définition

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II, aa et bb deux éléments de II ; et FF une fonction primitive de ff sur II.

Le nombre F(b)−F(a)F(b)-F(a) s’appelle l’intégrale de la fonction ff entre aa et bb on écrit :

∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)dx=\left[F(x)\right]^{b}_a=F(b)-F(a)

Remarque

Dans l’écriture :

∫abf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]^{a}_b=F(b)-F(a)

la variable xx s’appelle une variable muette c-à-d :

∫abf(x)dx=∫abf(t)dt=∫abf(s)ds=F(b)−F(a)\begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)dx &=\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(s)ds\\ &=F(b)-F(a) \end{align*}

Propriété

Toute fonction continue sur [a,b][a, b] est intégrable sur [a,b][a, b] c’est-à-dire l’intégral :

∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)dx=\left[F(x)\right]^{b}_a=F(b)-F(a)

existe et finie

Application 1

Calculer les intégrales suivantes :

∫122xdx  ;;  ∫ee21tdt  ;;  ∫0π6cos(2θ)dθ\int_{1}^{2}2xdx~~;; ~~\int_{e}^{e^2}\dfrac1t dt~~;; ~~\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}cos(2\theta)d\theta
  • Calculons l’intégrale ∫122x dx\int_{1}^{2} 2x \, dx:
∫122x dx=[x2]12=22−12=4−1=3\begin{align*} \int_{1}^{2} 2x \, dx &= \left[ x^2 \right]_{1}^{2} = 2^2 - 1^2 \\&= 4 - 1 = 3 \end{align*}

Donc,

∫122x dx=3\boxed{\int_{1}^{2} 2x \, dx = 3}
  • Calculons l’intégrale ∫ee21t dt\int_{e}^{e^2} \dfrac{1}{t} \, dt:
∫ee21t dt=[ln⁡∣t∣]ee2=ln⁡∣e2∣−ln⁡∣e∣=2−1=1\begin{align*} \int_{e}^{e^2} \dfrac{1}{t} \, dt &= \left[ \ln |t| \right]_{e}^{e^2} = \ln |e^2| - \ln |e| \\ &= 2 - 1 = 1 \end{align*}

Donc,

∫ee21t dt=1\boxed{\int_{e}^{e^2} \dfrac{1}{t} \, dt = 1}
  • Calculons l’intégrale ∫0π6cos⁡(2θ) dθ\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \cos(2\theta) \, d\theta:
∫0π6cos⁡(2θ) dθ=[sin⁡(2θ)2]0π6=sin⁡(π3)2−sin⁡(0)2=322−0=34\begin{align*} \int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \cos(2\theta) \, d\theta &= \left[ \dfrac{\sin(2\theta)}{2} \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \\ &= \dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{3})}{2} - \dfrac{\sin(0)}{2} \\&= \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2} - 0 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \end{align*}

Donc,

∫0π6cos⁡(2θ) dθ=34\boxed{ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \cos(2\theta) \, d\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{4}}