📌 Résumé, Géométrie dans l'Espace

#2bacsef

Sommaire

Données

Dans toute la suite, on travaille dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct : (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})

Soient :

  • u⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}
  • v⃗=x′i⃗+y′j⃗+z′k⃗\vec{v} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}
  • A(xA,yA,zA)A(x_A, y_A, z_A), B(xB,yB,zB)B(x_B, y_B, z_B), I(xI,yI,zI)I(x_I, y_I, z_I)

Produit scalaire

  • Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est :

    AB→=(xB−xAyB−yAzB−zA)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}

  • La distance ABAB est :

    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}

  • Si II est le milieu du segment [AB][AB], alors :

    {xI=xA+xB2yI=yA+yB2zI=zA+zB2\left\{ \begin{array}{l} x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} \\[0.5em] y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2} \\[0.5em] z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2} \end{array} \right.

  • La norme de u⃗\vec{u} est :

    ∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

  • Le produit scalaire des vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est :

    u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'

  • Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

    u⃗⋅v⃗=0  ⟺  u⃗⊥v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \quad \iff \quad \vec{u} \perp \vec{v}

Équation cartésienne d’un plan

  • Un plan (P)(P) admet une équation cartésienne de la forme :

    (P):ax+by+cz+d=0(P):\quad ax + by + cz + d = 0

    où n⃗=(a,b,c)\vec{n} = (a, b, c) est un vecteur normal à (P)(P).

  • Si A∈(P)A \in (P) et n⃗\vec{n} est un vecteur normal à (P)(P), alors :

    M(x,y,z)∈(P)  ⟺  MA→⋅n⃗=0M(x, y, z) \in (P) \iff \overrightarrow{MA} \cdot \vec{n} = 0

Sphère

  • Soit S(Ω,R)S(\Omega, R) une sphère de centre Ω(xΩ,yΩ,zΩ)\Omega(x_\Omega, y_\Omega, z_\Omega) et de rayon RR. Alors :

    M(x,y,z)∈S  ⟺  (x−xΩ)2+(y−yΩ)2+(z−zΩ)2=R2M(x, y, z) \in S \quad \iff \quad (x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 + (z - z_\Omega)^2 = R^2

  • Si SS est une sphère de diamètre [AB][AB], alors :

    M∈S  ⟺  MA→⋅MB→=0M \in S \quad \iff \quad \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0

Distance d’un point à un plan

Soient (P):ax+by+cz+d=0(P): ax + by + cz + d = 0 un plan et A(xA,yA,zA)A(x_A, y_A, z_A) un point de l’espace.

La distance de AA au plan (P)(P) est la distance AHAH, où HH est le projection orthogonale de AA sur le plan (P)(P).

On note : d(A,(P))=AHd(A, (P)) = AH.

d(A,(P))=∣axA+byA+czA+d∣a2+b2+c2d(A, (P)) = \dfrac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Position relative d’un plan et d’une sphère

Soient (P)(P) un plan et S(Ω,R)S(\Omega, R) une sphère. Posons d=d(Ω,(P))d = d(\Omega, (P)) :

  • Si d=Rd = R : le plan est tangent à la sphère, en un point HH.
  • Si d>Rd > R : le plan ne coupe pas la sphère.
  • Si d<Rd < R : le plan coupe la sphère selon un cercle de rayon r=R2−d2r = \sqrt{R^2 - d^2} et de centre HH, projection orthogonale de Ω\Omega sur le plan (P)(P).

Produit vectoriel

  • Le déterminant : ∣abcd∣=ad−bc\left|\begin{matrix} a & b \\ c& d\end{matrix} \right|=ad-bc

  • Le produit vectoriel u⃗∧v⃗\vec{u} \land \vec{v} est donné par :

    u⃗∧v⃗=∣i⃗j⃗k⃗xyzx′y′z′∣=∣yzy′z′∣i⃗−∣xzx′z′∣j⃗+∣xyx′y′∣k⃗\begin{align*} \vec{u} \land \vec{v} &= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x & y & z \\ x' & y' & z' \end{vmatrix}\\ &= \left|\begin{matrix} y & z \\ y'& z'\end{matrix} \right|\vec{i} - \left|\begin{matrix} x & z \\ x'& z'\end{matrix} \right|\vec{j} + \left|\begin{matrix} x & y \\ x'& y'\end{matrix} \right|\vec{k} \end{align*}

  • Propriétés :

    • u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  u⃗\vec{u} \land \vec{v} = \vec{0} \quad \iff \quad \vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires
    • Si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ne sont pas colinéaires :
      • u⃗⊥(u⃗∧v⃗)\vec{u} \perp (\vec{u} \land \vec{v})
      • v⃗⊥(u⃗∧v⃗)\vec{v} \perp (\vec{u} \land \vec{v})
      • Le triplet (u⃗,v⃗,u⃗∧v⃗)(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \land \vec{v}) forme une base directe

  • Norme du produit vectoriel :

    ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥⋅∥v⃗∥⋅∣sin⁡((u⃗,v⃗)^)∣\|\vec{u} \land \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot |\sin\left(\widehat{(\vec{u}, \vec{v})}\right)|

  • Aire du triangle ABCABC :

    A=12∥AB→∧AC→∥\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \left\| \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC} \right\|

  • Droites et points :

    • (AB)∥(DC)(AB) \parallel (DC)   ⟺  AB→∧DC→=0⃗\iff\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DC} = \vec{0}
    • AA, BB, CC alignés   ⟺  AB→∧AC→=0⃗\iff \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC} = \vec{0}

Distance d’un point à une droite

Soit (D)(D) une droite de vecteur directeur u⃗\vec{u} passant par un point AA, et BB un point quelconque de l’espace. Alors :

d(B,(D))=∥AB→∧u⃗∥∥u⃗∥d(B, (D)) = \dfrac{\|\overrightarrow{AB} \land \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}

Position relative d’une droite et d’une sphère

Soit (D)(D) une droite et S(Ω,R)S(\Omega, R) une sphère :

  • Si d(Ω,(D))=Rd(\Omega, (D)) = R : la droite est tangente à la sphère, en un point.
  • Si d(Ω,(D))<Rd(\Omega, (D)) < R : la droite coupe la sphère en deux points.
  • Si d(Ω,(D))>Rd(\Omega, (D)) > R : la droite ne coupe pas la sphère.