Applications (produit vectoriel)

#2bacsef

Sommaire

Surface d’un triangle

BACH
SABC=12AC.BHS_{ABC}=\dfrac{1}{2}AC.BH

Comme BH=AB.sin(A⃗)BH=AB.sin(\vec{A}) alors :

SABC=12AB.AC.sin(A^)S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.sin(\widehat{A})

Et on a ∥AB→∧AC→∥=AB.AC.∣sin(A^)∣\|\overrightarrow{AB}\land\overrightarrow{AC}\|=AB.AC.|sin(\widehat{A})|

Donc :

SABC=12∥AB→∧AC→∥S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\land\overrightarrow{AC}\|

Propriété

  • La surface du triangle ABCABC est :

    SABC=12∥AB→∧AC→∥S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\land\overrightarrow{AC}\|

  • La surface du parallélogramme ABCDABCD est

    SABCD=∥AB→∧AD→∥S_{ABCD}=\|\overrightarrow{AB}\land\overrightarrow{AD}\|

Distance entre un point et une droite

(D)(D) Droite de vecteur directeur u⃗\vec{u}

(D)AHB••⃗u
AB→∧u⃗=(AH→+HB→)∧u⃗=AH→∧u⃗+HB→∧u⃗=HB→∧u⃗\begin{align*} \overrightarrow{AB}\land\vec{u} &=\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}\right)\land\vec{u} \\ &=\overrightarrow{AH}\land\vec{u}+\overrightarrow{HB}\land\vec{u} \\ &=\overrightarrow{HB}\land\vec{u} \end{align*}

∥AB→∧u⃗∥=HB.∥u∥.∣sin(HB→;u⃗^)∣=HB.∥u∥\|\overrightarrow{AB}\land\vec{u}\|=HB.\|u\|.|sin(\widehat{\overrightarrow{HB};\vec{u}})|=HB.\|u\|

Donc

HB=∥AB→∧u⃗∥∥u∥HB=\dfrac{\| \overrightarrow{AB}\land\vec{u}\|}{\|u\|}

Propriété

D(A;u⃗)D\left(A;\vec{u}\right) Droite et BB un point d’espace

d(B;(D))=∥AB→∧u⃗∥∥u∥d\left(B;\left(D\right)\right)=\dfrac{\| \overrightarrow{AB}\land\vec{u}\|}{\|u\|}

Intersection droite, sphère

Propriété

Soit (D)(D) une droite et S(Ω,R)S(\Omega,R) sphère de centre Ω\Omega et de rayon RR

  • Si d(Ω,(D))=Rd(\Omega,(D))=R, alors la droite (D)(D) est tangente à la sphère (S)(S) en un point
  • Si d(Ω,(D))<Rd(\Omega,(D))<R, alors la droite (D)(D) traverse (S)(S) en deux points
  • Si d(Ω,(D))>Rd(\Omega,(D))>R, alors la droite (D)(D) ne coupe pas (S)(S)