Produit vectoriel

#2bacsef

Sommaire

Base directe - Repère directe

Soit A un point de l’espace. Considérons la main droite.

Si u⃗\vec{u} est l’index, v⃗\vec{v} est le majeur, w⃗\vec{w} est le pouce

Alors : (u⃗,v⃗,w⃗)\left(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right) est une base directe et :

(A,u⃗,v⃗,w⃗)\left(A,\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right) est un repère direct

On dit que l’espace a une orientation positive

Produit vectoriel

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs de l’espace

Le vecteur u⃗∧v⃗\vec{u}\land\vec{v} est le produit vectoriel de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} tel que :

  • Si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires Alors u⃗∧v⃗=0⃗\vec{u}\land\vec{v}=\vec{0}

  • Si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ne sont pas colinéaires

    ⃗v⃗u∧⃗v⃗u

    Alors

    • u⃗⊥(u⃗∧v⃗)\vec{u}\bot\left(\vec{u}\land\vec{v}\right)
    • et v⃗⊥(u⃗∧v⃗)\vec{v}\bot\left(\vec{u}\land\vec{v}\right)
    • et (u⃗;v⃗;u⃗∧v⃗)\left(\vec{u};\vec{v};\vec{u}\land\vec{v}\right) est une base directe :
    • ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥.∥v⃗∥.∣sin(u⃗;v⃗‾)∣\|\vec{u}\land \vec{v}\|=\|\vec{u}\|.\|\vec{v}\|.|sin(\overline{\vec{u};\vec{v}})|

Remarque

  • u⃗∧0⃗=0⃗\vec{u}\land\vec{0}=\vec{0}
  • u⃗∧v⃗=0⃗⇔u⃗\vec{u}\land\vec{v}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires
  • Si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteur directeur de (P)\left(P\right)

Alors u⃗∧v⃗\vec{u}\land\vec{v} est normal à (P)\left(P\right) en particulier AB→∧AC→\overrightarrow{AB}\land \overrightarrow{AC} est normal à (ABC)(ABC)

Propriété

  • u⃗∧v⃗=−(v⃗∧u⃗)\vec{u}\land\vec{v}=-\left(\vec{v}\land\vec{u}\right)
  • u⃗∧(αv⃗)=α(u⃗∧v⃗)\vec{u}\land(\alpha\vec{v})=\alpha\left(\vec{u}\land \vec{v}\right)
  • (u⃗+v⃗)∧w⃗=u⃗∧w⃗+v⃗∧w⃗\left(\vec{u}+\vec{v}\right)\land\vec{w}=\vec{u}\land\vec{w}+\vec{v}\land\vec{w}
  • w⃗∧(u⃗+v⃗)=w⃗∧u⃗+w⃗∧v⃗\vec{w}\land\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=\vec{w}\land\vec{u}+\vec{w}\land\vec{v}

Expression analytique du produit vectoriel

Soit (O;i⃗;j⃗;k⃗)\left(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k}\right) un repère orthonormé direct de l’espace.

  • i⃗∧j⃗=k⃗\vec{i} \land \vec{j} = \vec{k}
  • j⃗∧k⃗=i⃗\vec{j} \land \vec{k} = \vec{i}
  • k⃗∧i⃗=j⃗\vec{k} \land \vec{i} = \vec{j}

(car (O;i⃗;j⃗;k⃗)\left(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k}\right) est un repère direct)

Propriété

Si u⃗(x;y;z)\vec{u}(x;y;z) et v⃗(x′;y′;z′)\vec{v}(x';y';z') sont deux vecteurs de l’espace alors :

u⃗∧v⃗=∣yzy′z′∣i⃗−∣zxz′x′∣j⃗+∣xyx′y′∣k⃗\vec{u} \land \vec{v} = \begin{vmatrix} y & z \\ y' & z' \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} z & x \\ z' & x' \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} x & y \\ x' & y' \end{vmatrix} \vec{k}

Exemple

Déterminer u⃗∧v⃗\vec{u} \land \vec{v} pour : u⃗(4;2;3)\vec{u}(4;2;3) et v⃗(−1;7;5)\vec{v}(-1;7;5)

Correction

u⃗∧v⃗=(423)∧(−175)=∣2375∣i⃗−∣345−1∣j⃗+∣42−17∣k⃗=−11i⃗−23j⃗+30k⃗\begin{align*} \vec{u} \land \vec{v} &= \begin{pmatrix}4 \\ 2\\3\end{pmatrix} \land \begin{pmatrix}-1 \\ 7\\5\end{pmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 7 & 5 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 7 \end{vmatrix} \vec{k}\\ &= -11\vec{i} - 23\vec{j} + 30\vec{k} \end{align*}
Donc : u⃗∧v⃗(−11; −23; 30)\text{Donc : } \vec{u} \land \vec{v}(-11;\,-23;\,30)