Sphère, point et ensemble vide

#2bacsef

Sommaire

Soit (E)(E) l’ensemble des points M(x,y,z)M(x,y,z) tels que :

x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0

on a :

x2+ax=x2+2xa2+(a2)2−(a2)2 =(x+a2)2−a24\begin{align*} x^2+ax&=x^2+2x\dfrac a2+\left(\dfrac a2\right)^2-\left(\dfrac a2\right)^2\\~\\ &=\left( x + \dfrac{a}{2} \right)^2-\dfrac{a^2}4 \end{align*}

De même :

  • y2+by=(y+b2)2−b24y^2+by=\left( y + \dfrac{b}{2} \right)^2-\dfrac{b^2}4
  • z2+cz=(z+c2)2−c24z^2+cz=\left( z + \dfrac{c}{2} \right)^2-\dfrac{c^2}4

et donc : M(x;y;z)∈(E)M(x;y;z) \in (E) équivaut à :

(x+a2)2+(y+b2)2+(z+c2)2=Δ4\left( x + \dfrac{a}{2} \right)^2 + \left( y + \dfrac{b}{2} \right)^2 + \left( z + \dfrac{c}{2} \right)^2 = \dfrac{\Delta}{4}

ona posé : Δ=a2+b2+c2−4d\Delta = a^2 + b^2 + c^2 - 4d, alors :

Proposition

  1. Si Δ<0\Delta < 0, alors (E)(E) est l’ensemble vide, on écrit :

    (E)=∅(E) = \emptyset

  2. Si Δ=0\Delta = 0, alors (E)(E) est un point Ω(−a2;−b2;−c2)\Omega\left(-\dfrac{a}{2}; -\dfrac{b}{2}; -\dfrac{c}{2}\right), on écrit :

    (E)={Ω(−a2;−b2;−c2)}(E) = \left\{ \Omega\left(-\dfrac{a}{2}; -\dfrac{b}{2}; -\dfrac{c}{2}\right) \right\}

  3. Si Δ>0\Delta > 0, alors (E)(E) est une sphère de centre Ω(−a2;−b2;−c2)\Omega\left(-\dfrac{a}{2}; -\dfrac{b}{2}; -\dfrac{c}{2}\right) et de rayon R=Δ2R = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2}.