La sphère

#2bacsef

Sommaire

1) Définition

Ω(a;b;c)\Omega\left(a;b;c\right) un points de de l’espace et R∈R+∗R\in\mathbb{R}^{+*};

S(Ω;R)S\left(\Omega;R\right) est la sphère de centre Ω\Omega et de rayon RR si et seulement si

∀M(x;y;z)∈(S)  ⟺  ΩM=R\forall M\left(x;y;z\right)\in\left(S\right)\iff\Omega M=R
ΩR

2) Equation cartésienne d’une sphère

Soit (S)(S) la sphère de centre Ω(xΩ,yΩ,zΩ)\Omega(x_\Omega, y_\Omega, z_\Omega) et de rayon RR.

M(x;y;z)∈(S)⟺ΩM=R⟺(x−xΩ)2+(y−yΩ)2+(z−zΩ)2=R⟺(x−xΩ)2+(y−yΩ)2+(z−zΩ)2=R2\begin{aligned} M(x;y;z) \in (S) &\Longleftrightarrow \Omega M = R \\ &\Longleftrightarrow \sqrt{(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 + (z - z_\Omega)^2} = R \\ &\Longleftrightarrow (x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 + (z - z_\Omega)^2 = R^2 \end{aligned}

Proposition :

L’équation (x−xΩ)2+(y−yΩ)2+(z−zΩ)2=R2\left(x - x_\Omega\right)^2 + \left(y - y_\Omega\right)^2 + \left(z - z_\Omega\right)^2 = R^2 est une équation cartésienne de la sphère S(Ω,R)S(\Omega, R).

Exemple

Déterminer l’équation cartésienne de la sphère SS de centre Ω(1,−2,−1)\Omega(1, -2, -1) et de rayon 3\sqrt{3}.

Correction :

M(x;y;z)∈S  ⟺  (x−1)2+(y+2)2+(z+1)2=(3)2  ⟺  x2−2x+1+y2+4y+4+z2+2z+1=3  ⟺  x2+y2+z2−2x+4y+2z+3=0\begin{aligned} M(x;y;z) \in S &\iff (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 \\ &\iff x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 + z^2 + 2z + 1 = 3 \\ &\iff x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z + 3 = 0 \end{aligned}

3) Equation d’une sphère définie par son diamètre

Propriété

Soient AA et BB deux points de l’espace, et SS la sphère de diamètre [AB][AB].

M(x;y;z)∈S  ⟺  MA→⋅MB→=0M(x;y;z) \in S \iff \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0
Ω R A M B

Exemple

A(1,0,−1)A(1, 0, -1), B(−1,2,0)B(-1, 2, 0). Déterminer l’équation cartésienne de la sphère de diamètre [AB][AB].

Correction :

M(x;y;z)∈S  ⟺  MA→⋅MB→=0  ⟺  (1−x)(−1−x)+(0−y)(2−y)+(−1−z)(0−z)=0  ⟺  x2+y2+z2−2y+z−1=0\begin{aligned} M(x;y;z) \in S &\iff \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \\ &\iff (1 - x)(-1 - x) + (0 - y)(2 - y) + (-1 - z)(0 - z) = 0 \\ &\iff x^2 + y^2 + z^2 - 2y + z - 1 = 0 \end{aligned}