Le paln

1) Vecteur normal à un plan

Définition

Soit $(P)$ un plan dans l’espace. On appelle vecteur normal à $(P)$, tout vecteur $\vec{n}$ non nul orthogonal au plan $(P)$

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Remarque

Si $(P)$ plan de vecteur normal $\vec{n}$ et $A\in(P)$ et $M\in(P)$ Alors $\overrightarrow{AM}\perp \vec{n}$ donc $\vec{n}.\overrightarrow{AM}=0$

2) Equation cartésienne d’un plan

Soit $(P)$ un plan de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ avec $(a; b; c) \ne (0, 0, 0)$ et $A(x_A;y_A;z_A) \in (P)$

Proposition

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des réels tels que $(a; b; c) \ne (0, 0, 0)$.

L’ensemble des points $M(x ;y ;z)$ de l’espace qui vérifient :

est un plan et $\vec{n}(a; b; c)$ est un vecteur normal à ce plan.

Proposition

Si $(P)$ est un plan, $A \in (P)$ et $\vec{n}(a; b; c)$ est un vecteur normal à $(P)$, alors :

• $\forall M(x;y;z) \in (P)$, on a : $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$
• Une équation de $(P)$ est : $ax + by + cz + d = 0$ avec $d \in \mathbb{R}$

Exemple

Déterminer l’équation cartésienne du plan $(P)$ qui passe par le point $A(1;-1;2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2; 4; 3)$.

Correction

Méthode 1 :

On sait que l’équation de $(P)$ s’écrit sous la forme : $ax + by + cz + d = 0$.

Comme $\vec{n}(2; 4; 3)$ est un vecteur normal à $(P)$, on a : $a=2$, $b=4$, $c=3$.

Donc : $(P): 2x + 4y + 3z + d = 0$

$A(1;-1;2) \in (P) \Rightarrow 2 \times 1 + 4 \times (-1) + 3 \times 2 + d = 0 \Rightarrow d = -4$

Donc : $(P): 2x + 4y + 3z - 4 = 0$

Méthode 2 :

Donc : $(P): 2x + 4y + 3z - 4 = 0$

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Proposition

Soit $A$ un point de l’espace et $\vec{u}(a,b,c) \ne 0$ avec $k \in \mathbb{R}$.

L’ensemble des points $M$ de l’espace tels que : $\vec{u} \cdot \overrightarrow{AM} = k$ est un plan d’équation de la forme : $ax + by + cz + d = 0$ avec $d \in \mathbb{R}$.

Exemple

$A(1;-1;2)$ et $\vec{u}(2;1;-1)$

Déterminer $(P)$, l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que : $\vec{u} \cdot \overrightarrow{AM} = -1$

Correction

Donc $(P)$ est un plan d’équation : $2x + y - z + 2 = 0$