Produit scalaire dans l’espace

#2bacsef

Sommaire

🧠 Activité– rappel

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗)(O; \vec{i}, \vec{j}).

  1. Considérons les vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} tels que :
    ∥u⃗∥=3\|\vec{u}\| = 3, ∥v⃗∥=2\|\vec{v}\| = 2, u⃗⋅v⃗=−2\vec{u} \cdot \vec{v} = -2 et w⃗=2u⃗−3v⃗\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}

    a) Calculer u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot \vec{w} et v⃗⋅w⃗\vec{v} \cdot \vec{w}

    b) Calculer cos⁡(u⃗,v⃗^)\cos\left(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}\right)

  2. On considère les vecteurs a⃗\vec{a} et b⃗\vec{b} tels que :
    a⃗=2i⃗+j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + \vec{j} et b⃗=−i⃗+3j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 3\vec{j}

    a) Calculer a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}, ∥a⃗∥\|\vec{a}\| et ∥b⃗∥\|\vec{b}\|

    b) En déduire cos⁡(a⃗,b⃗^)\cos\left(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}\right) et sin⁡(a⃗,b⃗^)\sin\left(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}\right)

📌 Rappel – Vecteurs dans le plan

Soient u⃗(x,y)\vec{u}(x, y) et v⃗(x′,y′)\vec{v}(x', y') deux vecteurs du plan muni du repère (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).

✳️ Formes algébriques :

  • u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}
  • v⃗=x′i⃗+y′j⃗\vec{v} = x'\vec{i} + y'\vec{j}

✳️ Norme :

  • ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}

✳️ Produit scalaire :

  • u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥⋅∥v⃗∥⋅cos⁡(u⃗,v⃗^)\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\left(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}\right)
  • u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'

✳️ Déterminant :

  • det⁡(u⃗,v⃗)=∣xx′yy′∣=xy′−x′y\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix}x & x' \\ y & y'\end{vmatrix} = xy' - x'y

✳️ Sinus de l’angle :

  • sin⁡(u⃗,v⃗^)=det⁡(u⃗,v⃗)∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\sin(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \dfrac{\det(\vec{u}, \vec{v})}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

1/

u⃗⋅w⃗=u⃗⋅(2u⃗−3v⃗)=2u⃗⋅u⃗+u⃗⋅(−3v⃗)=2∥u⃗∥2−3u⃗⋅v⃗=2×32−3×(−2)=18+6=24\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{w} &= \vec{u} \cdot (2\vec{u} - 3\vec{v}) \\ &= 2\vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot (-3\vec{v}) \\ &= 2 \|\vec{u}\|^2 - 3 \vec{u} \cdot \vec{v} \\ &= 2 \times 3^2 - 3 \times (-2) \\ &= 18 + 6 = \boxed{24} \end{aligned}
v⃗⋅w⃗=v⃗⋅(2u⃗−3v⃗)=2v⃗⋅u⃗+v⃗⋅(−3v⃗)=2u⃗⋅v⃗−3∥v⃗∥2=2×(−2)−3×22=−4−12=−16\begin{aligned} \vec{v} \cdot \vec{w} &= \vec{v} \cdot (2\vec{u} - 3\vec{v}) \\ &= 2\vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot (-3\vec{v}) \\ &= 2 \vec{u} \cdot \vec{v} - 3 \|\vec{v}\|^2 \\ &= 2 \times (-2) - 3 \times 2^2 \\ &= -4 - 12 = \boxed{-16} \end{aligned}
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥⋅∥v⃗∥⋅cos⁡(u⃗,v⃗^)⇒cos⁡(u⃗,v⃗^)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥⋅∥v⃗∥=−23×2=−13\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\left(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}\right) \\ \Rightarrow \cos\left(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}\right) &= \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} \\ &= \frac{-2}{3 \times 2} = \boxed{-\frac{1}{3}} \end{aligned}

2/

a⃗=(2,1),b⃗=(−1,3) a⃗⋅b⃗=2×(−1)+1×3=−2+3=1 ∥a⃗∥=22+12=4+1=5 ∥b⃗∥=(−1)2+32=1+9=10\begin{aligned} \vec{a} &= (2, 1),\quad \vec{b} = (-1, 3) \\~\\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= 2 \times (-1) + 1 \times 3 \\&= -2 + 3 = \boxed{1} \\~\\ \|\vec{a}\| &= \sqrt{2^2 + 1^2} \\&= \sqrt{4 + 1} = \boxed{\sqrt{5}} \\~\\ \|\vec{b}\| &= \sqrt{(-1)^2 + 3^2}\\& = \sqrt{1 + 9} = \boxed{\sqrt{10}} \end{aligned}
cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∥a⃗∥⋅∥b⃗∥=15⋅10=210\begin{aligned} \cos\left(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}\right) &= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \boxed{\frac{\sqrt{2}}{10}} \end{aligned}
det⁡(a⃗,b⃗)=∣2−113∣=2⋅3−1⋅(−1)=6+1=7sin⁡(a⃗,b⃗^)=det⁡(a⃗,b⃗)∥a⃗∥⋅∥b⃗∥=75⋅10=7210\begin{aligned} \det(\vec{a}, \vec{b}) &= \left|\begin{matrix}2 & -1 \\ 1&3\end{matrix}\right|= 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \\ &= 6 + 1 = 7 \\ \sin\left(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}\right) &= \frac{\det(\vec{a}, \vec{b})}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|} \\ &= \frac{7}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \boxed{\frac{7\sqrt{2}}{10}} \end{aligned}

1) Concepte de base

Définition

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs de l’espace et A, B et C des points de l’espace tel que : u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB} et v⃗=AC→\vec{v}=\overrightarrow{AC}.

Le produit scalaire des vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est le produit scalaire des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} dans le plan (ABC), on le note u⃗.v⃗=AB→.AC→\vec{u}.\vec{v}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

⃗u⃗v⃗u⃗vABC

Propriété

Soient u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} des vecteurs de l’espace et kk un réel, on a :

  • u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}
  • (ku⃗)⋅v⃗=k×(u⃗⋅v⃗)(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k \times (\vec{u} \cdot \vec{v})
  • u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}

Définition

  1. On dit que deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si : u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0

  2. Soit u⃗\vec{u} un vecteur de l’espace tel que u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB}.
    La norme du vecteur u⃗\vec{u}, notée ∥u⃗∥\|\vec{u}\|, est la distance ABAB, et on a : ∥u⃗∥=u⃗⋅u⃗\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}

  3. Soit OO un point de l’espace, et soient i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} et k⃗\vec{k} trois vecteurs de l’espace :

    • deux à deux non colinéaires,
    • deux à deux n’appartenant pas au même plan.

    Dans ce cas, on dit que le triplet (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) est une base.
    Elle est dite orthonormée si :

    {∥i⃗∥=∥j⃗∥=∥k⃗∥=1eti⃗⋅j⃗=i⃗⋅k⃗=j⃗⋅k⃗=0\begin{cases} \|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = \|\vec{k}\| = 1 \quad \\ \text{et}\\ \vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{i} \cdot \vec{k} = \vec{j} \cdot \vec{k} = 0 \end{cases}

    On dit alors que (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) est un repère orthonormé.

Dans toute la suite, l’espace est muni d’un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}),
et M(x,y,z)M(x, y, z) est un point de l’espace, donc :

OM→=xi⃗+yj⃗+zk⃗\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}
⃗i⃗j⃗kyxzOM

2) Expression analytique du produit scalaire

Soient u⃗(x,y,z)\vec{u}(x, y, z) et v⃗(x′,y′,z′)\vec{v}(x', y', z') :

  • On a :
    u⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}
    v⃗=x′i⃗+y′j⃗+z′k⃗\vec{v} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}

  • Donc :

    u⃗⋅v⃗=(xi⃗+yj⃗+zk⃗)⋅(x′i⃗+y′j⃗+z′k⃗)=xx′+yy′+zz′\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot (x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}) \\ &= xx' + yy' + zz' \end{aligned}

    car
    i⃗⋅i⃗=j⃗⋅j⃗=k⃗⋅k⃗=1\vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = \vec{k} \cdot \vec{k} = 1
    et
    i⃗⋅j⃗=i⃗⋅k⃗=k⃗⋅j⃗=0\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{i} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{j} = 0

  • Norme du vecteur u⃗\vec{u} :

    ∥u⃗∥=u⃗⋅u⃗=x2+y2+z2\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Propriété

  • Si u⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} et v⃗=x′i⃗+y′j⃗+z′k⃗\vec{v} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k} alors :

    u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′∥u⃗∥=x2+y2+z2\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= xx' + yy' + zz' \\ \|\vec{u}\| &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{aligned}

  • Si A(xA,yA,zA)A(x_A, y_A, z_A) et B(xB,yB,zB)B(x_B, y_B, z_B), alors :

    AB→=(xB−xA)i⃗+(yB−yA)j⃗+(zB−zA)k⃗AB=∥AB→∥=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j} + (z_B - z_A)\vec{k} \\ AB &= \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \end{aligned}