Résmué, nombres complexes 2

#2bacsef

Sommaire

I. Equation du second degré

Soient a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} avec a≠0a \neq 0.

On considère dans C\mathbb{C} l’équation az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 et Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

∙\bullet\quad Si Δ<0\Delta < 0, alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées

z1=−b+i∣Δ∣2a et z2=z1‾z_1 = \frac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \text{ et } z_2 = \overline{z_1}

II. Notation Exponentielle

L’écriture exponentielle de zz est z=reiθz = re^{i\theta} tel que :

r=∣z∣r = |z| et arg⁡(z)≡θ [2π]\arg(z) \equiv \theta~ [2\pi]

Proposition
Soient r,r′∈R+∗r, r' \in \mathbb{R}_+^* et θ,θ′∈R\theta, \theta' \in \mathbb{R}, on a :

  • reiθ‾=re−iθ\overline{re^{i\theta}} = re^{-i\theta}
  • (reiθ)n=rneinθ\left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}
  • reiθ×r′eiθ′=rr′ei(θ+θ′)re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} = rr' e^{i(\theta+\theta')}
  • reiθr′eiθ′=rr′ei(θ−θ′)\dfrac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}} = \dfrac{r}{r'} e^{i(\theta - \theta')}

III. Formules de Moiver et d’Euler

Proposition (Formule de Moivre)
Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, on a : (∀x∈R)(\forall x \in \mathbb{R})

(cos⁡x+isin⁡x)n=cos⁡(nx)+isin⁡(nx)(\cos x + i \sin x)^n = \cos(nx) + i \sin(nx)

Proposition (Formules d’Euler)

(∀θ∈R)  {cos⁡(θ)=eiθ+e−iθ2 sin⁡(θ)=eiθ−e−iθ2i(\forall \theta \in \mathbb{R})~~ \begin{cases} \cos(\theta) = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\~\\ \sin(\theta) = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \end{cases}

IV. Translation, Homithétie et Rotation

1) Translation

L’écriture complexe de la translation tw⃗t_{\vec{w}} de vecteur w⃗\vec{w} est donnée par :

tw⃗(M)=M′⟺z′=z+zw⃗\boxed{t_{\vec{w}}(M) = M' \Longleftrightarrow z' = z + z_{\vec{w}}}

2) Homothétie

L’écriture complexe de l’homothétie HH de centre Ω(zΩ)\Omega(z_\Omega) et de rapport kk est donnée par :

H(M)=M′⟺z′−zΩ=k(z−zΩ)\boxed{H(M) = M' \Longleftrightarrow z' - z_\Omega = k(z - z_\Omega)}

3) Rotation

On dit que M′M' est l’image de MM par la rotation RR d’angle θ\theta et de centre Ω\Omega si et seulement si

ΩM=ΩM′ et (ΩM→,ΩM′→‾) ≡θ [2π]\Omega M=\Omega M'\text{ et } \left(\overline{\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}}\right)~\equiv\theta~[2\pi]
ΩMMʹ•••θ

L’écriture complexe de la rotation RR de centre Ω(zΩ)\Omega(z_\Omega) et d’angle θ\theta est donnée par :

R(M)=M′⇔zM′−zΩ=eiθ(zM−zΩ)\boxed{R(M) = M' \Leftrightarrow z_{M'} - z_\Omega = e^{i\theta}(z_M - z_\Omega)}