Expressions Complexes des transformations affines usuelles

#2bacsef

Sommaire

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O,\vec{u},\vec{v})\ Soient M(z)M(z) et M′(z′)M^\prime(z^\prime) deux points du plan.

1) Translation

Définition

Soit w⃗\vec{w} un vecteur du plan.
Toute transformation qui transforme un point MM en un point M′M' tel que MM′→=w⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{w}
s’appelle translation de vecteur w⃗\vec{w}.
Si on note Tw⃗T_{\vec{w}} la translation de vecteur w⃗\vec{w}, alors :

M’ est l’image de M par Tw⃗  ⟺  Tw⃗(M)=M′\text{M' est l'image de M par } T_{\vec{w}} \iff T_{\vec{w}}(M) = M'
MMʹ⃗w

Écriture complexe d’une translation

Si M′(z′)M'(z') est l’image du point M(z)M(z) par la translation de vecteur w⃗\vec{w}, alors :

tw⃗(M)=M′  ⟺  MM′→=w⃗  ⟺  zMM′=zw⃗  ⟺  z′−z=zw⃗  ⟺  z′=z+zw⃗\begin{align*} t_{\vec{w}}(M) = M' &\iff \overrightarrow{MM'} = \vec{w} \\ &\iff z_{MM'} = z_{\vec{w}} \\ &\iff z' - z = z_{\vec{w}} \\ &\iff z' = z + z_{\vec{w}} \end{align*}

Résumé : L’écriture complexe de la translation tw⃗t_{\vec{w}} de vecteur w⃗\vec{w} est donnée par :

tw⃗(M)=M′  ⟺  z′=z+zw⃗t_{\vec{w}}(M) = M' \iff z' = z + z_{\vec{w}}

Exercice

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)\left(O,\vec{u},\vec{v}\right),
considérons les points AA, BB et CC d’affixes respectives :
a=3+5ia = 3 + 5i, b=3−5ib = 3 - 5i et c=7+3ic = 7 + 3i.

Soit M′(z′)M'(z') l’image du point M(z)M(z) par la translation de vecteur w⃗\vec{w} d’affixe 4−2i4 - 2i.

  1. Montrer que z′=z+4−2iz' = z + 4 - 2i
  2. Montrer que le point CC est l’image de AA par cette translation.

Correction

1/

MM′→=w⃗  ⟺  z′−z=zw⃗  ⟺  z′=z+zw⃗  ⟺  z′=z+4−2i\begin{align*} \overrightarrow{MM'} = \vec{w} &\iff z' - z = z_{\vec{w}} \\ &\iff z' = z + z_{\vec{w}} \\ &\iff z' = z + 4 - 2i \end{align*}

2/ Appliquons la translation à AA :

Soit A′(a′)A'(a') l’image de AA par la translation de vecteur w⃗\vec{w}

zA′=zA+4−2ia′=a+(4−2i)=(3+5i)+(4−2i)=7+3i=c\begin{align*} z_{A'}&=z_A+4-2i\\ a'&= a + (4 - 2i) \\ &= (3 + 5i) + (4 - 2i) \\ &= 7 + 3i = c \end{align*}

On voit que a′=ca' = c.
Donc, CC est bien l’image de AA par la translation de vecteur w⃗\vec{w} d’affixe 4−2i4 - 2i.

2) Homothétie

Soient MM, M′M' et Ω\Omega trois points alignés du plan complexe.

MΩMʹ•••

Comme MM, M′M' et Ω\Omega sont des points alignés, alors il existe un réel kk (k∈Rk \in \mathbb{R}) tel que
ΩM′→=kΩM→\overrightarrow{\Omega M'} = k \overrightarrow{\Omega M}.

Définition

Soit Ω\Omega un point fixé et kk un nombre réel non nul.
On appelle homothétie de centre Ω\Omega et de rapport kk la transformation du plan qui transforme tout point MM en un point M′M' tel que :

ΩM′→=kΩM→\overrightarrow{\Omega M'} = k \overrightarrow{\Omega M}

Écriture complexe d’une homothétie

Soit Ω(zΩ)\Omega(z_\Omega) un point fixé.
Si M′(z′)M'(z') est l’image du point M(z)M(z) par l’homothétie HH de centre Ω\Omega et de rapport kk, alors :

H(M)=M′  ⟺  ΩM′→=kΩM→  ⟺  z′−zΩ=k(z−zΩ)\begin{align*} H(M) = M' &\iff \overrightarrow{\Omega M'} = k \overrightarrow{\Omega M} \\ &\iff z' - z_\Omega = k(z - z_\Omega) \end{align*}

Résumé

L’écriture complexe de l’homothétie HH de centre Ω(zΩ)\Omega(z_\Omega) et de rapport kk est donnée par :

H(M)=M′  ⟺  z′−zΩ=k(z−zΩ)H(M) = M' \iff z' - z_\Omega = k(z - z_\Omega)

Exercice

Soit l’homothétie hh de centre Ω(3,−2)\Omega(3, -2) et de rapport k=4k = 4.
Soit zz l’affixe du point MM et z′z' l’affixe du point M′M' image de MM par l’homothétie hh.
Considérons le point AA d’affixe zA=3+5iz_A = 3 + 5i.

  1. Montrer que z′=4z−9+6iz' = 4z - 9 + 6i
  2. Déterminer l’affixe du point A′A' image de AA par l’homothétie hh.

Correction

1/ L’homothétie hh de centre Ω(3−2i)\Omega(3 - 2i) transforme un point MM d’affixe zz en un point M′M' d’affixe z′z' tel que :

z′−zΩ=k(z−zΩ)z' - z_\Omega = k(z - z_\Omega)

et on a : zΩ=3−2iz_\Omega = 3 - 2i et k=4k = 4, donc :

z′=4(z−(3−2i))+(3−2i)=4z−12+8i+3−2i=4z−9+6i\begin{aligned} z' &= 4(z - (3 - 2i)) + (3 - 2i) \\ &= 4z - 12 + 8i + 3 - 2i \\ &= 4z - 9 + 6i \end{aligned}

2. Le point AA a pour affixe zA=3+5iz_A = 3 + 5i. Appliquons l’homothétie hh à AA :

zA′=4(zA−(3−2i))+(3−2i)=4(3+5i−3+2i)+3−2i=4(7i)+3−2i=28i+3−2i=3+26i\begin{aligned} z_{A'} &= 4(z_A - (3 - 2i)) + (3 - 2i) \\ &= 4(3 + 5i - 3 + 2i) + 3 - 2i \\ &= 4(7i) + 3 - 2i \\ &= 28i + 3 - 2i \\ &= 3 + 26i \end{aligned}

Donc, l’affixe du point A′A' est zA′=3+26iz_{A'} = 3 + 26i

3) Rotation

Soient MM, M′M' et Ω\Omega trois points.

ΩMMʹ•••θ

On dit que M′M' est l’image de MM par la rotation RR d’angle θ\theta et de centre Ω\Omega si et seulement si

ΩM=ΩM′ et (ΩM→,ΩM′→‾) ≡θ [2π]\Omega M=\Omega M'\text{ et } \left(\overline{\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}}\right)~\equiv\theta~[2\pi]
R(M)=M′  ⟺  {ΩM=ΩM′et(ΩM→,ΩM′→)≡θ [2π]R(M) = M' \iff \begin{cases} \Omega M = \Omega M'\\ \text{et} \quad \left( \overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'} \right) \equiv \theta \ [2\pi] \end{cases}

Écriture complexe d’une rotation

Soit Ω(zΩ)\Omega(z_\Omega) un point fixé.
Si M′(z′)M'(z') est l’image du point M(z)M(z) par la rotation RR d’angle θ\theta, alors :

R(M)=M′  ⟺  (ΩM→,ΩM′→)≡θ [2π]et∣ΩM′∣=∣ΩM∣  ⟺  arg⁡(z′−zΩz−zΩ)≡θ [2π]et∣z′−zΩz−zΩ∣=1  ⟺  z′−zΩz−zΩ=eiθ  ⟺  z′−zΩ=(z−zΩ)eiθ\begin{aligned} R(M) = M' &\iff \left( \overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'} \right) \equiv \theta \ [2\pi] \quad \text{et} \quad |\Omega M'| = |\Omega M| \\ &\iff \arg\left( \frac{z' - z_\Omega}{z - z_\Omega} \right) \equiv \theta \ [2\pi] \quad \text{et} \quad \left| \frac{z' - z_\Omega}{z - z_\Omega} \right| = 1 \\ &\iff \frac{z' - z_\Omega}{z - z_\Omega} = e^{i\theta} \\ &\iff z' - z_\Omega = (z - z_\Omega)e^{i\theta} \end{aligned}

Résumé

L’écriture complexe de la rotation RR de centre Ω(zΩ)\Omega(z_\Omega) et d’angle θ\theta est donnée par :

R(M)=M′  ⟺  z′−zΩ=(z−zΩ)eiθR(M) = M' \iff z' - z_\Omega = (z - z_\Omega)e^{i\theta}

Exercice

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O,\vec{u},\vec{v}),
considérons les points AA et BB d’affixes respectives :

  • a=4−4i3a = 4 - 4i\sqrt{3}
  • b=8b = 8

Soit RR la rotation de centre OO et d’angle π3\frac{\pi}{3}.

Le point M′M' d’affixe z′z' est l’image du point MM d’affixe zz par la rotation RR.

  1. Exprimer z′z' en fonction de zz
  2. Vérifier que BB est l’image du point AA par la rotation RR
  3. En déduire la nature du triangle OABOAB

Correction

1/ Expression de z′z'

La rotation RR est de centre OO (d’affixe 00) et d’angle π3\frac{\pi}{3}, donc :

z′−0=zeiπ3−0  ⟺  z′=z(cos⁡π3+isin⁡π3)  ⟺  z′=z(12+i32)\begin{align*} z' -0= z e^{i\frac{\pi}{3}}-0 &\iff z' = z\left( \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right) \\&\iff z'= z\left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \end{align*}

2/ BB est l’image de AA ?

  • Affixe de AA : a=4−4i3a = 4 - 4i\sqrt{3}
  • Affixe de BB : b=8b = 8

supposons que A′(a′)A'(a') l’image de AA par la rotation RR donc :

zA′=zA(12+i32)=(4−4i3)(12+i32)=2+2i3−2i3−2i232=2+6=8\begin{align*} z_{A'}&=z_A\left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\\ &=(4 - 4i\sqrt{3})\left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ &=2+2i\sqrt3-2i\sqrt3-2i^2\sqrt3^2 \\ &=2+6=8 \end{align*}

Cela donne bien b=8b = 8 à la fin, donc l’affixe de BB est l’image de AA.

3. Nature du triangle OABOAB

On a que BB est l’image de AA par la rotation RR de centre OO, donc les longueurs sont conservées : OA=OBOA = OB

De plus, l’angle de rotation est π3=60∘\dfrac{\pi}{3} = 60^\circ,
donc : OAB^=60∘\widehat{OAB} = 60^\circ

Ainsi, le triangle OABOAB a deux côtés égaux (OA=OBOA = OB) et un angle de 60∘60^\circ entre eux,
ce qui implique que :
le triangle OABOAB est équilatéral.