Notation Exponentielle d’un nombre complexe

#2bacsef

Sommaire

1) Définition

Tout nombre complexe zz, de module rr et d’argument θ\theta, s’écrit sous forme : z=reiθz = re^{i\theta}.
Cette écriture est appelée notation exponentielle du nombre complexe zz.

Exemple

Soit z=2+i2z = \sqrt{2} + i\sqrt{2}, on a ∣z∣=2|z| = 2 donc

z=2(22+i22)=2(cos⁡π4+i.sin⁡π4)\begin{align*} z &= 2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &=2(\cos\dfrac\pi4+i.\sin\dfrac\pi4) \end{align*}

Donc ∣z∣=2|z| = 2 et arg⁡(z)≡π4 [2π]\arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{4} ~[2\pi],

alors : z=2eiπ4z = 2e^{i\dfrac{\pi}{4}} est la notation exponentielle de zz.

Propriété

Soient rr et θ\theta deux nombres réels.
Si r≥0r \ge 0 et z=reiθz = re^{i\theta}, alors ∣z∣=r|z| = r et arg⁡(z)≡θ(mod2π)\arg(z) \equiv \theta \pmod{2\pi}.

2) Opérations sur la notation exponentielle

Propriété
Soient r,r′∈R+∗r, r' \in \R_+^* et θ,θ′∈R\theta, \theta' \in \R, on a :

  • reiθ‾=re−iθ\overline{re^{i\theta}} = re^{-i\theta}
  • −reiθ=rei(θ+π)-re^{i\theta} = re^{i(\theta + \pi)}
  • 1reiθ=1r⋅e−iθ\dfrac{1}{re^{i\theta}} = \dfrac{1}{r} \cdot e^{-i\theta}
  • (reiθ)n=rn⋅einθ\left(re^{i\theta}\right)^n = r^n \cdot e^{in\theta}
  • reiθ×r′eiθ′=rr′⋅ei(θ+θ′)re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} = rr' \cdot e^{i(\theta + \theta')}
  • reiθr′eiθ′=rr′⋅ei(θ−θ′)\dfrac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}} = \dfrac{r}{r'} \cdot e^{i(\theta - \theta')}

Exercice
Donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants :

  • z1=2+2iz_1 = 2 + 2i\quad ; z2=1−i3\quad z_2 = 1 - i\sqrt{3}
  • z1×z2z_1 \times z_2 \quad ; z1z2\quad\dfrac{z_1}{z_2}

Correction

  • Pour z1=2+2iz_1 = 2 + 2i :

    ∣z1∣=22+22=22|z_1| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}

    donc

    z1=22(12+i12)=22(cos⁡π4+isin⁡π4)=22eiπ4\begin{align*} z_1 &= 2\sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + i \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ &= 2\sqrt{2} \left( \cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4} \right) \\ &= 2\sqrt{2} e^{i \dfrac{\pi}{4}} \end{align*}

  • Pour z2=1−i3z_2 = 1 - i\sqrt{3} :

    ∣z2∣=12+(3)2=2|z_2| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2

    donc

    z2=2(12−i32)=2(cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3))=2e−iπ3\begin{align*} z_2 &= 2 \left( \dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\\ & = 2 \left( \cos \left( -\dfrac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\dfrac{\pi}{3} \right) \right) \\ &= 2e^{-i\dfrac{\pi}{3}} \end{align*}

  • Produit z1×z2z_1 \times z_2 :

    z1×z2=(22eiπ4)⋅(2e−iπ3)=42ei(π4−π3)=42eiπ12\begin{align*} z_1 \times z_2 &= (2\sqrt{2} e^{i \dfrac{\pi}{4}}) \cdot (2 e^{-i \dfrac{\pi}{3}}) \\ &= 4\sqrt{2} e^{i\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{3}\right)} \\ &= 4\sqrt{2} e^{i\dfrac{\pi}{12}} \end{align*}

  • Quotient z1z2\dfrac{z_1}{z_2} :

    z1z2=22eiπ42e−iπ3=2ei(π4−−π3)=2ei7π12\begin{align*} \dfrac{z_1}{z_2} &= \dfrac{2\sqrt{2} e^{i \dfrac{\pi}{4}}}{2 e^{-i \dfrac{\pi}{3}}} \\ &= \sqrt{2} e^{i \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{-\pi}{3} \right)} \\ &= \sqrt{2} e^{i \dfrac{7\pi}{12}} \end{align*}