Équation du second degré dans C

#2bacsef

Sommaire

Activité

  1. Résoudre dans R\mathbb{R} l’équation : x2−2x+2=0x^2-2x+2=0
  2. Développer et simplifier : (x−1−i)(x−1+i)(x-1-i)(x-1+i)
  3. Déduire les solutions dans C\mathbb{C} de l’équation : x2−2x+2=0x^2-2x+2=0

Correction

1/

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

où l’équation est de la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.

Ici, a=1a = 1, b=−2b = -2 et c=2c = 2.

Δ=(−2)2−4×1×2=−4\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 2 = -4

Donc, l’équation x2−2x+2=0x^2 - 2x + 2 = 0 n’a pas de solutions dans R\mathbb{R}.

2/

(x−1−i)(x−1+i)=(x−1)2−i2=(x2−2x+1)+1=x2−2x+2\begin{align*} (x - 1 - i)(x - 1 + i) &= (x - 1)^2 - i^2 \\ &= (x^2 - 2x + 1) + 1 \\ &= x^2 - 2x + 2 \end{align*}

3/

x2−2x+2=0  ⟺  (x−1−i)(x−1+i)=0  ⟺  x−1−i=0oux−1+i=0  ⟺  x=1+ioux=1−i\begin{align*} x^2 - 2x + 2 = 0 &\iff (x - 1 - i)(x - 1 + i) = 0 \\ &\iff x - 1 - i = 0 \quad \text{ou} \quad x - 1 + i = 0 \\ &\iff x = 1 + i \quad \text{ou} \quad x = 1 - i \end{align*}

Les solutions sont 1+i1+i et 1−i1-i.

1) L’équation z2=az^2 = a

Propriété

Soit a∈R∗a \in \mathbb{R}^*, la solution de l’équation z2=az^2 = a dans C\mathbb{C} est :

  • Si a>0a > 0, alors : z=az = \sqrt{a} ou z=−az = -\sqrt{a}
  • Si a<0a < 0, alors : z=i−az = i\sqrt{-a} ou z=−i−az = -i\sqrt{-a}

Application

Résoudre dans C\mathbb{C} les équations : z2=−4z^2 = -4 et z2=4z^2 = 4.

Correction

z2=4  ⟺  z=4 ou z=−4  ⟺  z=2 ou z=−2\begin{align*} z^2 = 4 &\iff z = \sqrt{4} \text{ ou } z = -\sqrt{4}\\ &\iff z=2 \text{ ou } z=-2 \end{align*}
z2=−4  ⟺  z2=4i2  ⟺  z2=(2i)2  ⟺  z=2i ou z=−2i\begin{align*} z^2 = -4 &\iff z^2 = 4i^2\\ &\iff z^2 = (2i)^2\\ &\iff z=2i \text{ ou } z=-2i \end{align*}
2) L’équation az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 avec a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} et a≠0a \neq 0

Propriété

Soient a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} avec a≠0a \neq 0.

On considère dans C\mathbb{C} l’équation az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 avec Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac le discriminant de l’équation.

∙\bullet\quad Si Δ>0\Delta > 0, alors l’équation admet deux solutions distinctes :

z1=−b+Δ2aetz2=−b−Δ2az_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

∙\bullet\quad Si Δ=0\Delta = 0, alors l’équation admet une solution double :

z=−b2az = -\frac{b}{2a}

∙\bullet\quad Si Δ<0\Delta < 0, alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :

z1=−b+i∣Δ∣2a et z2=−b−i∣Δ∣2az_1 = \frac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \text{ et } z_2 = \frac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}

Application

Résoudre dans C\mathbb{C} les équations suivantes :

  • z2−z+1=0z^2 - z + 1 = 0
  • 2z2+z+3=02z^2 + z + 3 = 0
  • 3(z−i)2+2(z−i)+1=03(z-i)^2 + 2(z-i) + 1 = 0

Correction

∙\bullet\quad Pour z2−z+1=0z^2 - z + 1 = 0, on a :

a=1,b=−1,c=1a = 1, \quad b = -1, \quad c = 1
Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×1=−3\begin{align*} \Delta &= b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 \\ &= -3 \end{align*}

Comme Δ<0\Delta < 0, l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :

z1=1+i32,z2=1−i32z_1 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad z_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}

∙\bullet\quad Pour 2z2+z+3=02z^2 + z + 3 = 0, on a :

a=2,b=1,c=3a = 2, \quad b = 1, \quad c = 3
Δ=b2−4ac=12−4×2×3=−23\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 2 \times 3 = -23

Comme Δ<0\Delta < 0, l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :

z1=−1+i234,z2=−1−i234z_1 = \frac{-1 + i\sqrt{23}}{4}, \quad z_2 = \frac{-1 - i\sqrt{23}}{4}

∙\bullet\quad Pour 3(z−i)2+2(z−i)+1=03(z-i)^2 + 2(z-i) + 1 = 0 :

Posons w=z−iw = z - i, on obtient :

3w2+2w+1=03w^2 + 2w + 1 = 0
a=3,b=2,c=1a = 3, \quad b = 2, \quad c = 1
Δ=b2−4ac=22−4×3×1=−8\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times 1 = -8

Comme Δ<0\Delta < 0, ww admet deux solutions complexes conjuguées :

w1=−1+i23,w2=−1−i23w_1 = \frac{-1 + i\sqrt{2}}{3}, \quad w_2 = \frac{-1 - i\sqrt{2}}{3}

En revenant à zz :

z1=i+w1=2+i23,z2=i+w2=2−i23z_1 = i + w_1 = \frac{2 + i\sqrt{2}}{3}, \quad z_2 = i + w_2 = \frac{2 - i\sqrt{2}}{3}