Fonctions Exponentielles

#2bacsef

Sommaire

I. Fonction exponentielle nupérienne

On sait que la fonction ln\bf ln est continue et srtictement croissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[ , donc elle admet une fonction réciproque définie sur ln(]0;+∞[)=R\bf ln(]0;+\infty[)=\R

Définition

La fonction réciproque de la fonction ln\bf ln⁡ est appelée fonction exponentielle népérienne, on la note exp⁡\bf \exp⁡, elle est définie par :

(∀x∈R)(∀y∈]0;+∞[) : ln(y)=x  ⟺  y=exp⁡(x)(\forall x\in\R)(\forall y\in]0;+\infty[)~:~ln(y)=x \iff y=\exp(x)

Résultats :

  • On a : ln⁡(1)=0\ln(1) = 0 donc exp⁡(0)=1\exp(0) = 1.

  • On a : ln⁡(]0;+∞[)=R\ln(]0;+\infty[) = \mathbb{R} donc exp⁡(R)=]0;+∞[\exp(\mathbb{R}) = ]0;+\infty[.
    Alors ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R} : exp⁡(x)>0\exp(x) > 0.

  • La fonction ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[,

    donc la fonction exp⁡\exp est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

  • ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, ∀y∈]0;+∞[\forall y \in ]0;+\infty[ : exp⁡(x)=y  ⟺  x=ln⁡(y)\exp(x) = y \iff x = \ln(y).

  • ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, ln⁡(exp⁡(x))=x\ln(\exp(x)) = x et ∀y∈]0;+∞[\forall y \in ]0;+\infty[, exp⁡(ln⁡(y))=y\exp(\ln(y)) = y.

  • ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, ∀y∈R\forall y \in \mathbb{R} :

exp⁡(x)=exp⁡(y)  ⟺  x=y\exp(x) = \exp(y) \iff x = y
exp⁡(x)>exp⁡(y)  ⟺  x>y\exp(x) > \exp(y) \iff x > y

Propriété

Pour tous x,y∈Rx,y\in\mathbb{R} et pour tout r∈Qr\in\mathbb{Q} :

  • exp⁡(x)×exp⁡(y)=exp⁡(x+y)\exp(x)\times\exp(y) = \exp(x+y)
  • 1exp⁡(x)=exp⁡(−x)\dfrac{1}{\exp(x)} = \exp(-x)
  • exp⁡(x)exp⁡(y)=exp⁡(x−y)\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)} = \exp(x-y)
  • exp⁡(rx)=(exp⁡(x))r\exp(rx) = \left(\exp(x)\right)^r

Démonstration

On a :

ln⁡(exp⁡(x)×exp⁡(y))=ln⁡(exp⁡(x))+ln⁡(exp⁡(y))=x+y\ln(\exp(x)\times\exp(y)) = \ln(\exp(x)) + \ln(\exp(y)) = x + y

donc : exp⁡(ln⁡(exp⁡(x)×exp⁡(y)))=exp⁡(x+y)\exp(\ln(\exp(x)\times\exp(y))) = \exp(x+y).

Alors :

exp⁡(x)×exp⁡(y)=exp⁡(x+y)\exp(x)\times\exp(y) = \exp(x+y)

De la même manière, on montre les autres propriétés.

Autre écriture: Passage à la notation exe^x

On a : exp⁡(rx)=(exp⁡(x))r\exp(rx) = \left(\exp(x)\right)^r pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

Pour x=1x=1, on a : exp⁡(r)=(exp⁡(1))r\exp(r) = \left(\exp(1)\right)^r pour tout r∈Qr \in \mathbb{Q}.

Or, on sait que ln⁡(e)=1\ln(e) = 1, donc exp⁡(1)=e\exp(1) = e.

Ainsi :

exp⁡(r)=(exp⁡(1))r=erpour toutr∈Q\exp(r) = \left(\exp(1)\right)^r = e^r \quad \text{pour tout} \quad r \in \mathbb{Q}

Donc :

∀r∈Q:exp⁡(r)=er\fbox{$\forall r \in \mathbb{Q} \quad : \quad \exp(r) = e^r$}

On prolonge cette égalité à R\mathbb{R} et on écrit :

∀x∈R:exp⁡(x)=ex\fbox{$\forall x \in \mathbb{R} \quad : \quad \exp(x) = e^x$}

Propriété

Pour tous x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} et pour tout r∈Qr \in \mathbb{Q} :

  • ex×ey=ex+ye^x \times e^y = e^{x+y}
  • 1ex=e−x\dfrac{1}{e^x} = e^{-x}
  • exey=ex−y\dfrac{e^x}{e^y} = e^{x-y}
  • erx=(ex)re^{rx} = \left(e^x\right)^r
  • ∀x∈R, ∀y∈ ]0;+∞[ :\forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in\ ]0;+\infty[\ :
ex=y   ⟺   x=ln⁡(y)e^x = y\ \iff\ x = \ln(y)

  • ∀x∈R:ln⁡(ex)=x\forall x \in \mathbb{R} : \ln(e^x) = x

  • ∀y∈ ]0;+∞[:eln⁡(y)=y\forall y \in\ ]0;+\infty[ : e^{\ln(y)} = y

  • (∀x,y∈R)(\forall x, y \in \mathbb{R})

ex=ey   ⟺   x=ye^x = e^y\ \iff\ x = y
ex>ey   ⟺   x>ye^x > e^y\ \iff\ x > y

II. Limites particuliers

Dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}), la courbe de la fonction exp⁡\bf \exp est le symétrique de la courbe de la fonction ln\bf ln par rapport à la droite d’équation y=xy=x (car exp⁡\bf \exp est la réciproque de ln\bf ln) .

O⃗i⃗j(Cln)(Cexp)

D’après la figure, on a les limites suivantes :

Proposition

  • lim⁡x→−∞ex=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty} e^x = 0
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty
  • lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty
  • lim⁡x→−∞x ex=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty} x \, e^x = 0

On a : lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty.

Posons t=−xt = -x : alors lorsque x→+∞x \to +\infty, on a t→−∞t \to -\infty.

Ainsi :

lim⁡x→+∞exx=lim⁡t→−∞e−t−t=lim⁡t→−∞1−tet=+∞\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x} = \lim_{t\to-\infty} \frac{e^{-t}}{-t} = \lim_{t\to-\infty} \frac{1}{-t e^{t}} = +\infty

Ce qui implique :

lim⁡t→−∞(−t)et=0et donclim⁡t→−∞tet=0\lim_{t\to-\infty} (-t) e^{t} = 0 \quad \text{et donc} \quad \lim_{t\to-\infty} t e^{t} = 0

Proposition

Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^* :

  • lim⁡x→+∞exxn=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty
  • lim⁡x→−∞xnex=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0

Exercice

Calculer les limites suivantes :

  • lim⁡x→−∞(2x−1)ex\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(2x-1)e^x
  • lim⁡x→+∞ex+1x\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x+1}{x}
  • lim⁡x→+∞ex+2xx3\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x+2x}{x^3}

Correction

lim⁡x→−∞(2x−1)ex=lim⁡x→−∞(2xex−ex)=0\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to-\infty}(2x-1)e^x &= \lim_{x\to-\infty}(2x e^x - e^x) \\&= 0 \end{align*}

car lim⁡x→−∞xex=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty} x e^x = 0 et lim⁡x→−∞ex=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty} e^x = 0.

lim⁡x→+∞ex+1x=lim⁡x→+∞(exx+1x)=+∞\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x+1}{x} &= \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{e^x}{x} + \frac{1}{x} \right) \\&= +\infty \end{align*}

car lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty et lim⁡x→+∞1x=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0.

lim⁡x→+∞ex+2xx3=lim⁡x→+∞(exx3+2x2)=+∞\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x+2x}{x^3} &= \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{e^x}{x^3} + \frac{2}{x^2} \right) \\&= +\infty \end{align*}

car lim⁡x→+∞exx3=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^3} = +\infty et lim⁡x→+∞2x2=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{2}{x^2} = 0.

III. Dérivée de la fonction exponentielle

Propriété

  • La fonction exp⁡\exp est dérivable sur R\mathbb{R}, et on a :
∀x∈R:exp⁡′(x)=exp⁡(x)\forall x \in \mathbb{R} : \exp'(x) = \exp(x)
  • Si la fonction uu est dérivable sur un intervalle I⊂R>I \subset \mathbb{R}>, alors la fonction x↦eu(x)x \mapsto e^{u(x)} est dérivable sur II, et sa dérivée est :
x↦u′(x)exp⁡(u(x))x \mapsto u'(x) \exp(u(x))

On écrit par convention :

∀x∈I:(eu(x))′=u′(x)eu(x)\forall x \in I : (e^{u(x)})' = u'(x) e^{u(x)}

Exercice

Calculer la dérivée de la fonction :

f:x↦ex2−xf : x \mapsto e^{x^2-x}

Correction

Posons :

f(x)=ex2−xf(x) = e^{x^2 - x}

Calculons f′(x)f'(x) :

  1. Posons u(x)=x2−xu(x) = x^2 - x.

  2. Calculons u′(x)u'(x) :

    u′(x)=2x−1u'(x) = 2x - 1

  3. Appliquons la propriété :

    f′(x)=eu(x)⋅u′(x)f'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)

  4. Donc, la dérivée de f(x)f(x) est :

    f′(x)=ex2−x(2x−1)f'(x) = e^{x^2 - x} (2x - 1)

Résultat :

On a :

lim⁡x→0ex−e0x−0=exp⁡′(0)\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^0}{x - 0} = \exp'(0)

où :

  • exp⁡′(0)=1\exp'(0) = 1
  • exp⁡(0)=e0=1\exp(0) = e^0 = 1

Donc :

lim⁡x→0ex−1x=1\boxed{ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 }

IV. Fonction exponentielle de base a>0a > 0

1) définition et propriétés

Dans toute la section, a∈Ra \in \mathbb{R} avec a>0a > 0

Définition

La fonction exponentielle de base aa, notée exp⁡a\exp_a, est définie par :

∀x∈R:exp⁡a(x)=ax\forall x \in \mathbb{R} : \exp_a(x) = a^x

Résultats importants

  • ∀x∈R,ln⁡(ax)=xln⁡(a)\forall x \in \mathbb{R}, \quad \ln(a^x) = x \ln(a)
  • Pour tous x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} : ax=ay⇒x=ya^x = a^y \quad \Rightarrow \quad x = y
  • ∀x∈R:exln⁡a=eln⁡(ax)=ax\forall x \in \mathbb{R} : \quad e^{x \ln a} = e^{\ln(a^x)} = a^x

Propriétés de axa^x

Pour tous x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} :

  • ax⋅ay=ax+ya^x \cdot a^y = a^{x+y}
  • a−x=1axa^{-x} = \frac{1}{a^x}
  • axay=ax−y\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}
  • (ax)y=axy(a^x)^y = a^{xy}

2) Dérivée de la fonction x↦axx \mapsto a^x

Propriété :

La fonction f:x↦axf : x \mapsto a^x est dérivable sur R\mathbb{R}, et :

∀x∈R:f′(x)=ln⁡(a)⋅ax\forall x \in \mathbb{R} : \quad f'(x) = \ln(a) \cdot a^x

Preuve

On sait que :

f(x)=ax=exln⁡(a)f(x) = a^x = e^{x \ln(a)}

Posons u(x)=xln⁡(a)u(x) = x \ln(a).

Alors : f(x)=eu(x)f(x) = e^{u(x)}

Donc

f′(x)=u′(x)eu(x)=ln⁡(a)⋅exln⁡(a)=ln⁡(a)⋅ax\begin{align*} f'(x) &= u'(x) e^{u(x)} \\ &= \ln(a) \cdot e^{x \ln(a)} \\ &= \ln(a) \cdot a^x \end{align*}

Deux résultats de comparaison

  • Si 0<a<10 < a < 1, alors :
    ax<ay⇔x>ya^x < a^y \quad \Leftrightarrow \quad x > y
  • Si a>1a > 1, alors :
    ax<ay⇔x<ya^x < a^y \quad \Leftrightarrow \quad x < y

3) Cas particulier : base 10

Si a=10a = 10, la fonction x↦10xx \mapsto 10^x est appelée fonction exponentielle de base 10, et on a :

∀x∈R, ∀y∈]0;+∞[:10x=y  ⟺  x=log⁡10(y)\forall x \in \mathbb{R}, \, \forall y \in ]0; +\infty[ : \quad 10^x = y \iff x = \log_{10}(y)