Résmué, nombres complees

#2bacsef

Sommaire

L’ensemble C\mathbb{C}

  • i\mathbf{i} : nombre imaginaire tel que i2=−1\mathbf{i^2 = -1}.
  • C={z=a+ib∣a,b∈R}\mathbf{\color{blue}\mathbb{C} = \{ z = a + ib \mid a,b \in \mathbb{R} \}}.
  • L’écriture z=a+ib\mathbf{\color{blue} z = a + ib} est appelée forme algébrique de zz.
  • Si z=a+ibz = a + ib, alors : a=Re(z)a = \mathcal{R}e(z) et b=Im(z)b = \mathcal{I}m(z).
  • À tout nombre complexe z=x+yiz = x + yi, on associe un point M(x,y)M(x,y) :
    • MM est l’image de zz, notée M(z)M(z),
    • zz est l’affixe de MM.
  • zz est l’affixe du vecteur OM→\overrightarrow{OM}, c’est-à-dire : zOM→=zMz_{\overrightarrow{OM}} = z_M.
0⃗u⃗vxyx+iyRiR

Propriétés de C\mathbb{C}

  • a+ib=a′+ib′  ⟺  a=a′etb=b′a+ib = a'+ib' \quad \iff \quad a = a' \quad \text{et} \quad b = b'.

    • Cas particulier :
    a+ib=0  ⟺  a=0etb=0a+ib=0 \quad \iff \quad a=0 \quad \text{et} \quad b=0

  • zz est un réel si et seulement si Im(z)=0\mathcal{I}m(z) = 0.

    • Autrement dit : z∈R  ⟺  Im(z)=0z \in \mathbb{R} \quad \iff \quad \mathcal{I}m(z) = 0.

  • zz est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0\mathcal{R}e(z) = 0.

    • Autrement dit : z∈iR  ⟺  Re(z)=0z \in i\mathbb{R} \quad \iff \quad \mathcal{R}e(z) = 0.

  • Si A(zA)A(z_A), B(zB)B(z_B) et C(zC)C(z_C), alors :

    1. AB→\overrightarrow{AB} a pour affixe zB−zAz_B - z_A et AB=∣zB−zA∣AB = |z_B - z_A|.
    2. L’affixe de II, milieu de [AB][AB], est zI=zA+zB2z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}.
    3. Si A≠CA \neq C, les points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si zB−zAzC−zA∈R\dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A} \in \mathbb{R}.
  • Le conjugué de z=a+ibz = a + i b est zˉ=a−ib\bar{z} = a - i b
  • Soit z=x+iyz = x + iy un nombre complexe, où xx et yy sont des réels.
    • zˉˉ=z\bar{\bar{z}} = z
    • z×zˉ=x2+y2z \times \bar{z} = x^2 + y^2
    • z∈R  ⟺  z=zˉz \in \mathbb{R} \quad \iff \quad z = \bar{z}
    • z∈iR  ⟺  z=−zˉz \in i\mathbb{R} \quad \iff \quad z = -\bar{z}
    • z+zˉ=2Re(z)z + \bar{z} = 2\mathcal{R}e(z) et z−zˉ=2iIm(z)z - \bar{z} = 2i\mathcal{I}m(z)
O⃗v⃗uM(z)M(z)ab-ba

Forme trigonométrique d’un nombre complexe

  • Le module de z=a+ibz = a + i b est le réel positif ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.
  • ∣z2∣=z.zˉ|z^2|=z.\bar{z} et ∣z∣=∣−z∣=∣zˉ∣|z|=|-z|=|\bar{z}|
  • ∣z.z′∣=∣z∣.∣z′∣|z.z'|=|z|.|z'| et ∣zn∣=∣z∣n|z^n|=|z|^n
  • ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣|\frac{z}{z'}|=\frac{|z|}{|z'|} avec z′≠0z'\ne 0
  • ∣z+z′∣≤∣z∣+∣z′∣|z+z'|\le |z|+|z'|
O⃗v⃗uM(z)abarg(z)|z|
  • L’argument du nombre complexe z, noté arg⁡(z)\arg(z), toute mesure en radians de l’angle orienté : (u⃗,OM→^)(\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OM}})
  • arg⁡(zˉ)≡−arg⁡(z) [2π]\arg(\bar{z}) \equiv -\arg(z)~[2\pi]
  • arg⁡(−z)≡arg⁡(z) [2π]\arg(-z) \equiv \arg(z)~[2\pi]
  • arg⁡(−zˉ)≡π−arg⁡(z) [2π]\arg(-\bar{z}) \equiv \pi-\arg(z)~[2\pi]
  • arg(z×z′)≡arg(z)+arg(z′) [2π]arg(z\times z') \equiv arg(z)+arg(z')~[2\pi]
  • arg(zz′)≡arg(z)−arg(z′) [2π]arg(\frac{z}{z'}) \equiv arg(z)-arg(z')~[2\pi]
  • arg(zn)≡n.arg(z) [2π]arg(z^n) \equiv n.arg(z)~[2\pi]
  • arg(1z)≡−arg(z) [2π]arg(\frac{1}{z}) \equiv -arg(z)~[2\pi]
  • Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

Tout nombre complexe non nul zz à une écriture de la forme : z=∣z∣(cos(θ)+i.sin(θ))    Ouˋ    arg(z)≡θ [2π]z=|z|\left(cos(\theta)+i.sin(\theta)\right)~~~~ \text{Où} ~~~~ arg(z)\equiv \theta ~[2\pi] Cette écriture s’appelle la forme trigonométrique du nombre complexe non nul z

Rappel

  • cos(−x)=cos(x)cos(-x)=cos(x) et sin(−x)=−sin(x)sin(-x)=-sin(x)
  • cos(π−x)=−cos(x)cos(\pi-x)=-cos(x) et sin(π−x)=sin(x)sin(\pi-x)=sin(x)
  • cos(π+x)=−cos(x)cos(\pi+x)=-cos(x) et sin(π+x)=−sin(x)sin(\pi+x)=-sin(x)
α\alpha 00 π6\dfrac{\pi}{6} π4\dfrac{\pi}{4} π3\dfrac{\pi}{3} π2\dfrac{\pi}{2} π\pi
cos⁡(α)\cos(\alpha) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 12\dfrac{1}{2} 00 −1-1
sin⁡(α)\sin(\alpha) 00 12\dfrac{1}{2} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11 00

Angle de deux vecteurs

Si A(zA)A(z_A) , B(zB)B(z_B) , C(zC)C(z_C) et D(zD)D(z_D) alors:

  • (u⃗,AB→)≡arg(zB−zA) [2π](\vec{u},\overrightarrow{AB}) \equiv arg(z_B-z_A)~[2\pi]
  • (AB→,CD→)≡arg(zD−zCzB−zA) [2π](\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) \equiv arg(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A})~[2\pi]

Conséquences

  • A,B et C sont alignés
  ⟺  arg(zC−zAzB−zA)≡0 [2π]   ou   arg(zC−zAzB−zA)≡π [2π]\iff arg(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A})\equiv 0~[2\pi] ~~~ou ~~~arg(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A})\equiv \pi~[2\pi]
  • (AB)∥(CD)(AB)\parallel(CD)
  ⟺  arg(zD−zCzB−zA)≡0 [2π]   ou   arg(zD−zCzB−zA)≡π [2π]\iff arg(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A})\equiv 0~[2\pi] ~~~ou ~~~arg(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A})\equiv \pi~[2\pi]
  • (AB)⊥(CD)(AB)\perp(CD)
  ⟺  arg(zD−zCzB−zA)≡π2 [2π]   ou   arg(zD−zCzB−zA)≡−π2 [2π]\iff arg(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A})\equiv \frac{\pi}{2}~[2\pi] ~~~ou ~~~arg(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A})\equiv -\frac{\pi}{2}~[2\pi]