Angle de deux vecteurs

Propriété : Soient A,B deux points du plan complexe (P), d’affixes respectivement $z_A$ et $z_B$

Preuve Par définition de l’argument

Propriété : Soient A,B,C et D quatre points du plan complexe (P), d’affixes respectivement $z_A$ , $z_B$ ,$z_c$ et $z_D$ avec $z_B\ne z_A$

• $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \equiv arg(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A})~[2\pi]$
• $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) \equiv arg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A})~[2\pi]$

Preuve

En utilisant la relation de Chasles

Alors :

Conséquences :

• les points A,B et C sont alignés si et seulement si, on a :

• les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si , on a :

• les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires si et seulement si, on a :

Exercice : Soient A,B et C trois points d’affixes respectivement : $a=2+2i\sqrt{3}$ et $b=-4+4i\sqrt{3}$ et $c=-1+i\sqrt{3}$

1. Déterminer l’argument de $\dfrac{b-c}{a-c}$
2. Déduire que $(AC)\perp (BC)$

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Correction :

1/

Donc : $\arg(\dfrac{b-c}{a-c})\equiv \dfrac{\pi}{2} ~~[2\pi]$

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2/ $\quad (AC)\perp (BC)$ ?

Donc $(AC)\perp (BC)$

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Exercice (Nat 2013 S.O) : On considère dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ d’affixes respectives : $a=7+2i$ , $b=4+8i$ , $c=-2+5i$ et $d=10+11i$

1. Calculer $\dfrac{d-c}{b-c}$ puis déduire que les points $B$ , $C$ et $D$ sont alignés.
2. a. vérifie que $(1+i)(-3+6i)=-9+3i$, puis montrer que $\dfrac{c-a}{b-a}=1+i$ b. Ecrire le nombre $1+i$ sous forme trigonométrique. c. En déduire que $AC=AB\sqrt{2}$; et donner une mesure de l’angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}$

Correction : $A(a)$ , $B(b)$ , $C(c)$ et $D(d)$ avec : $a=7+2i$ , $b=4+8i$ , $c=-2+5i$ et $d=10+11i$

1/

$\begin{aligned} \dfrac{d-c}{b-c}&=\dfrac{10+11i-(-2+5i)}{4+8i-(-2+5i)}\\ &=\dfrac{12+6i}{6+3i}=\dfrac{6(2+i)}{3(2+i)}=2 \end{aligned}$

Comme $\dfrac{d-c}{b-c}=2\in\R$ , alors les points $B$ , $C$ et $D$ sont alignés.

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2/a/

$\begin{aligned} (1+i)(-3+6i)&=-3+6i-3i+6i^2\\&=-3+3i-6\\ &=-9+3i \end{aligned}$

$\begin{aligned} \dfrac{c-a}{b-a}&=\dfrac{-2+5i-(7+2i)}{4+8i-(7+2i)}\\ &=\dfrac{-9+3i}{-3+6i}\\ &=\dfrac{(1+i)(-3+6i)}{-3+6i}\\ &=1+i \end{aligned}$

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b/ Forme trigo de $1+i$

$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

$\begin{aligned} 1+i&=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ &=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\&=\sqrt{2}\left(\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})\right) \end{aligned}$

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c/

On a : $\dfrac{c-a}{b-a}=1+i$

$\implies |\dfrac{c-a}{b-a}|=|1+i|=\sqrt{2}$

$\implies \dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}$ ,

et donc $AC=AB\sqrt{2}$

• On a :

$\arg(\dfrac{c-a}{b-a})=\arg(1+i) \equiv \dfrac{\pi}{4} ~~[2\pi]$

Comme $(\overline{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}) \equiv \arg(\dfrac{c-a}{b-a}) ~~[2\pi]$

Alors :$\dfrac\pi4$ est une meseure de l’angle orienté $(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})$

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Exercice :

Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe $z$ tel que :

Correction : La forme trigonométrique de $z$ tel que : $|z|=2 \quad \text{et} \quad \arg(iz)\equiv \dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$

On sait que $z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ avec $\theta \equiv \arg(z) ~~[2\pi]$

On a : $\arg(iz)\equiv \dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$ et $\arg(iz)\equiv \arg(i)+\arg(z)~~[2\pi]$

Donc $\arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{4}-\arg(i)~~[2\pi]$

Donc $\arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}~~[2\pi]$

Donc $\arg(z) \equiv -\dfrac{\pi}{4} ~~[2\pi]$

Finalement la forme trigonométrique de $z$ est :