Forme trigonométrique d'un nombre complexe

1) Module d’un nombre complexe

Définition

Le $\bf \text{module}$ de $z = a + i b$ est le réel positif $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Comme $z \times \bar z = (a+i b)(a-i b) = a^2+b^2$ alors le module vaut aussi $|z| = \sqrt{z\bar z}$.

Exemples : $\quad\bullet\quad|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

$\quad\bullet\quad|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

$\quad\bullet\quad|5-2i|=\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{29}$.

$\quad\bullet\quad|-5|=5$

$\quad\bullet\quad|9i|=\sqrt{0^2+9^2}=\sqrt{81}=9$.

Proposition : Soit $n$ un entier relatif, pour tous $z$ et $z'$ nombres complexes on a :

• $|z^2|=z.\bar{z}$ et $|z|=|-z|=|\bar{z}|$
• $|z.z'|=|z|.|z'|$ et $|z^n|=|z|^n$
• $|\dfrac{z}{z'}|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ avec $z'\ne 0$
• $|z+z'|\le |z|+|z'|$

Exercice : Calculer le module de z dans les cas suivants:

Correction : $\begin{aligned} \quad \bullet\quad |a|&=|3+i|=\sqrt{3^2+1^2}\\&=\sqrt{9+1}=\sqrt{10} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad \bullet\quad |b|&=|\sqrt{2}-3i |\\&=\sqrt{\sqrt{2}^2+(-3)^2}=\sqrt{11} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad \bullet\quad |c|&=\left|\dfrac{1+\sqrt{2}i}{1-3i}\right|=\dfrac{|1+\sqrt{2}i|}{|1-3i|} \\&=\dfrac{\sqrt{1^2+\sqrt{2}^2}}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad \bullet\quad |d| &=|(1+2i)^3|=|1+2i|^3 \\&=\sqrt{1^2+2^2}^3\\&=\sqrt{5}^3=5\sqrt{5} \end{aligned}$

2) Argument d’un nombre complexe non nul

Définition : Le plan complexe est rapporté un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$

Soit z un nombre complexe non nul et $M(z)$ son image.

On appelle argument du nombre complexe z, noté $arg(z)$, toute mesure en radians de l’angle orienté : $(\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OM}})$ et on écrit :

Remarque : le complexe nul n’a pas d’argument

Exercice

Le plan complexe est menu d’un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$

on considère les points A ,B ,C ,D et E qui ont pour affixes :

1. Représenter les points A ,B ,C ,D et E dans Le plan complexe
2. on utilisant la représention déterminer l’argument des complexes : $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ , $z_D$ et $z_E$

Correction

1/

2/

$\begin{aligned}\bullet\quad & arg(z_A) \equiv (\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OA}})[2\pi] \\&\Longrightarrow arg(z_A) \equiv 0 [2\pi] \end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\quad & arg(z_B) \equiv (\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OB}})[2\pi] \\&\Longrightarrow arg(z_B) \equiv -\dfrac{\pi}{2} [2\pi] \end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\quad & arg(z_C) \equiv (\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OC}})[2\pi] \\&\Longrightarrow arg(z_C) \equiv \dfrac{\pi}{4} [2\pi] \end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\quad & arg(z_D) \equiv (\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OD}})[2\pi]\\ &\Longrightarrow arg(z_D) \equiv \dfrac{\pi}{2} [2\pi] \end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\quad & arg(z_E) \equiv (\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OE}})[2\pi] \\ &\Longrightarrow arg(z_E) \equiv \pi [2\pi] \end{aligned}$

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Propriété Soient $z\in \mathbb{C}$ et $y\in \R$

• $z\in \R^*_- \Leftrightarrow arg(z) \equiv \pi [2\pi]$
• $z\in \R^*_+ \Leftrightarrow arg(z) \equiv 0 [2\pi]$
• $arg(iy) \equiv \dfrac{\pi}{2} [2\pi]$ si $y>0$
• $arg(iy) \equiv -\dfrac{\pi}{2} [2\pi]$ si $y<0$

Propriété Soit z un nombre complexe non nul, on a :

• $arg(\bar{z}) \equiv -arg(z)~[2\pi]$
• $arg(-z) \equiv arg(z)~[2\pi]$
• $arg(-\bar{z}) \equiv \pi-arg(z)~[2\pi]$

3) Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

soit $z = a+ bi$ un nombre complexe no nul.et $M(z)$ son image dans un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$

On a $arg(z) \equiv \theta [2\pi]$ et $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

et on a :

Donc :

Cette écriture s’appelle la forme trigonométrique du nombre complexe non nul z et on a : $arg(z)\equiv \theta ~[2\pi]$

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Applicaation

Donner la forme trigonométrique du nombre complexe z dans les cas suivants :

Correction :

• La forme trigonométrique de $z_1=\sqrt{3}+ i$ ? $|z_1|=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=2$ $\begin{aligned} z_1&=\sqrt{3}+ i=2\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right]\\ &=2\left[\cos(\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\dfrac{\pi}{6})\right] \end{aligned}$

• La forme trigonométrique de $z_2=1 - i$ ? $|z_2|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

  $\begin{aligned} z_2&=1-i=\sqrt{2}(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\dfrac{1}{\sqrt{2}})\\ &=\sqrt{2}\left[\cos(\dfrac{\pi}{4})-i\sin(\dfrac{\pi}{4})\right] \\&=\sqrt{2}\left[\cos(-\dfrac{\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{\pi}{4})\right] \end{aligned}$

• La forme trigonométrique de $z_3=-\sqrt{3}+i$ ? $|z_3|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}=2$

  $\begin{aligned} z_3&=-\sqrt{3}+i=2\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right]\\ &=2\left[-\cos(\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\dfrac{\pi}{6})\right] \\&=2\left[\cos(\pi-\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\pi-\dfrac{\pi}{6})\right] \\&=2\left[\cos(\dfrac{5\pi}{6})+i\sin(\dfrac{5\pi}{6})\right] \end{aligned}$

• La forme trigonométrique de $z_4=-2\sqrt{3} - 2i$ ? $|z_4|=\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+(-2)^2}=4$

  $\begin{aligned} z_4&=-2\sqrt{3} - 2i\\\\ &=4\left[-\dfrac{2\sqrt{3}}{4}-i\dfrac{2}{4}\right]\\ \\&=4\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right] \\ \\&=4\left[-\cos(\dfrac{\pi}{6})-i\sin(\dfrac{\pi}{6})\right] \\ \\&=4\left[\cos(\pi+\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\pi+\dfrac{\pi}{6})\right]\\\\ &=4\left[\cos(\dfrac{7\pi}{6})+i\sin(\dfrac{7\pi}{6})\right] \end{aligned}$

Propriété

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls, on a :

• $arg(z. z') \equiv arg(z)+arg(z')~[2\pi]$
• $arg(\dfrac{z}{z'}) \equiv arg(z)-arg(z')~[2\pi]$
• $arg(z^n) \equiv n.arg(z)~[2\pi]$

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Exercice :

1. Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : $z_1=\dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}\text{ et }z_2=(1+i)^3$

2. soient $z=1+i$ et $z'=\sqrt{3}-i$

   a. écrire $z$ et $z’$ sous forme trigonométrique

   b. écrire $z\times z'$ sous forme trigonométrique et algébrique

   c. déduire la valeur de $\cos(\dfrac{\pi}{12})$ et $\sin(\dfrac{\pi}{12})$

Correction :

1.

Forme trigo de $z_1=\dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}$ ?

$\quad\star |\sqrt{3}+i|=\sqrt{\sqrt3^2+1^2}=2$ $\quad\star |1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$

Donc

$\begin{aligned} \sqrt{3}+i&=2\left(\frac{\sqrt3}2+\frac12i\right)\\ &=2\left(\cos(\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\dfrac{\pi}{6})\right)\\ 1-i&=\sqrt2\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\\ &=\sqrt2\left( \cos(\dfrac{-\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{\pi}{4}) \right) \end{aligned}$

et donc

$|z_1|=\dfrac{|\sqrt3+i|}{|1-i|}=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\\$

$\begin{aligned} \arg(z_1)&\equiv \arg\left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}\right) ~ [2\pi] \\ &\equiv \arg(\sqrt{3}+i)-\arg(1-i) ~ [2\pi]\\ &\equiv \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4} ~~[2\pi]\\ &\equiv\dfrac{5\pi}{12}~~[2\pi] \end{aligned}$

Finalement :

$\begin{aligned} z_1&=|z_1|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))\\ &=\sqrt{2}\left(\cos(\dfrac{5\pi}{12})+i\sin(\dfrac{5\pi}{12})\right) \end{aligned}$

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Forme trigo de $z_2=(1+i)^3$ ?

$\begin{aligned} |z_2|&=|(1+i)^3|=|(1+i)|^3\\ &=\left(\sqrt{1^2+1^2}\right)^3\\ &=\sqrt{2}^3=2\sqrt{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \arg(z_2)&=\arg((1+i)^3) \\ &\equiv 3\arg(1+i) ~~[2\pi] \end{aligned}$

Cherchons $\arg(1+i)$

$\begin{aligned} 1+i&=\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2})\\ &=\sqrt{2}(\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})) \end{aligned}$

Donc $\arg(1+i)\equiv \dfrac{\pi}{4} ~~[2\pi]$

$\arg(z_2) \equiv \dfrac{3\pi}{4} ~~[2\pi]$

Finalement $\begin{aligned} z_2 &=|z_2|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))\\ &=2\sqrt{2}(\cos(\dfrac{3\pi}{4})+i\sin(\dfrac{3\pi}{4})) \end{aligned}$

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2/a/ Forme trigo de $z=1+i$ ?

$\begin{aligned} 1+i&=\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2})\\ &=\sqrt{2}(\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})) \end{aligned}$

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Forme trigo de $z'=\sqrt{3}-i$ ?

$|z'|=|\sqrt{3}-i|=\sqrt{\sqrt{3}^2+(-1)^2}=2$

$\begin{aligned} z'&=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right)\\ &=2\left(\cos(\dfrac{\pi}{6})-i\sin(\dfrac{\pi}{6})\right)\\ &=2\left(\cos(-\dfrac{\pi}{6})+i\sin(-\dfrac{\pi}{6})\right) \end{aligned}$

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b/ Forme trigo de $z.z'$ ?

$z.z'=|z.z'|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ avec $\theta \equiv \arg(z.z') ~~[2\pi]$

On a $|z.z'|=|z|.|z'|=\sqrt{2}\times2=2\sqrt{2}$

et $\arg(z.z') \equiv \arg(z)+\arg(z') ~~[2\pi]$

$\arg(z.z') \equiv \dfrac{\pi}{4}+(-\dfrac{\pi}{6}) ~~[2\pi]$

Donc $\arg(z.z') \equiv \dfrac{\pi}{12} ~~[2\pi]$

$\begin{aligned} z.z'&=|z.z'|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))\\ &=2\sqrt{2}\left(\cos(\dfrac{\pi}{12})+i\sin(\dfrac{\pi}{12})\right) \end{aligned}$

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Forme algébrique de $z.z'$

$\begin{aligned} z.z'&=(1+i)(\sqrt{3}-i)\\ &=\sqrt{3}-i+i\sqrt{3}+1\\ &=\sqrt{3}+1+i(\sqrt{3}-1) \end{aligned}$

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c/

On a

et

Donc :