Fonction logarithme népérien

#2bacsef

Sommaire

I. La fonction logarithme népérien

1) Propriétés

Définition

La fonction x↦1xx\mapsto \dfrac{1}{x} est continue sur ]0;+∞[]0;+\infty[ donc elle admet une fonction primitive notée ln⁡\ln définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[ et qui s’annule en 11.

Remarques

  • La fonction x↦ln⁡xx \mapsto \ln x est définie et continue sur ]0;+∞[]0;+\infty[
  • ln⁡(1)=0\ln(1) = 0
  • Pour tout x∈]0;+∞[x \in ]0;+\infty[, on a : ln⁡′(x)=1x\ln'(x) = \dfrac{1}{x}
  • Comme ∀x∈]0;+∞[,ln⁡′(x)>0\forall x \in ]0;+\infty[, \ln'(x) > 0, la fonction ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[

Propriétés

Pour tout x>0x > 0 et y>0y > 0, on a :

  • ln⁡(x)=ln⁡(y)  ⟺  x=y\ln(x) = \ln(y) \iff x = y
  • ln⁡(x)>ln⁡(y)  ⟺  x>y\ln(x) > \ln(y) \iff x > y

Cas particuliers
∙  ln⁡(x)=0  ⟺  x=1\bullet~~ \ln(x) = 0 \iff x = 1
∙  ln⁡(x)>0  ⟺  x>1\bullet~~ \ln(x) > 0 \iff x > 1
∙  ln⁡(x)<0  ⟺  x<1\bullet~~ \ln(x) < 0 \iff x < 1

Application

  1. Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
    ∙  f:x↦ln⁡(x+1)\bullet~~ f : x \mapsto \ln(x+1)
    ∙  g:x↦ln⁡(−x+1x−2)\bullet~~ g : x \mapsto \ln\left(\dfrac{-x+1}{x-2}\right)

  2. Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations :
    ∙  ln⁡(x+1)≤0\bullet~~ \ln(x+1) \le 0
    ∙  ln⁡(−x+1)−ln⁡(x+3)<0\bullet~~ \ln(-x+1) - \ln(x+3) < 0

Correction

  1. Les ensembles de définition :
Df={x∈R∣x+1>0}=]−1;+∞[\begin{align*} D_f &= \{x \in \mathbb{R} \mid x + 1 > 0\} \\&= ]-1;+\infty[ \end{align*}
Dg={x∈R∣x≠2 et −x+1x−2>0}=]1;2[\begin{align*} D_g &= \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne 2 \text{ et } \dfrac{-x+1}{x-2} > 0 \right\} \\ &= ]1;2[ \end{align*}
  1. Résolution :

  • ln⁡(x+1)≤0\ln(x+1) \le 0

    Domaine de définition

    D={x∈R∣x+1>0}=]−1;+∞[\begin{align*} D &=\{x \in \mathbb{R} \mid x + 1 > 0\} \\&= ]-1;+\infty[ \end{align*}

    Soit x∈]−1;+∞[x\in]-1;+\infty[

    ln⁡(x+1)≤0  ⟺  ln⁡(x+1)≤ln⁡(1)  ⟺  x+1≤1  ⟺  x≤0  ⟺  x∈]−∞,0[\begin{align*} \ln(x+1) \le 0 &\iff \ln(x+1) \le \ln(1) \\&\iff x+1 \le 1 \\ & \iff x \le 0 \\&\iff x\in]-\infty,0[ \end{align*}

    Donc

    x∈]−1;+∞[ et x∈]−∞,0[  ⟺  x∈]−1;+∞[∩]−∞;0]  ⟺  x∈]−1;0]\begin{align*} &x\in]-1;+\infty[\text{ et }x\in]-\infty,0[\\ &\iff x \in ]-1;+\infty[ \cap ]-\infty;0] \\ &\iff x\in]-1;0] \end{align*}

    Ensemble solution : S=]−1;0]S = ]-1;0]

  • ln⁡(−x+1)−ln⁡(x+3)<0\ln(-x+1) - \ln(x+3) < 0

    Domaine de définition

    D={x∈R∣−x+1>0 et x+3>0}={x∈R∣x<1 et x>−3}=]−3;1[\begin{align*} D &=\{x \in \mathbb{R} \mid -x + 1 > 0\text{ et } x+3>0 \} \\ &=\{x \in \mathbb{R} \mid x < 1\text{ et } x>-3 \} \\ &= ]-3;1[ \end{align*}

    Soit x∈]−3;1[x\in ]-3;1[

    ln⁡(−x+1)−ln⁡(x+3)<0  ⟺  ln⁡(−x+1)<ln⁡(x+3)  ⟺  −x+1<x+3  ⟺  −2x<2  ⟺  x>−1  ⟺  x∈]−1;+∞[\begin{align*} &\ln(-x+1) - \ln(x+3) < 0\\ &\iff \ln(-x+1) < \ln(x+3)\\ &\iff -x+1<x+3\\ &\iff -2x<2 \\ &\iff x>-1\\ &\iff x\in]-1;+\infty[ \end{align*}

    Donc

    x∈]−3;1[ et x∈]−1;+∞[x\in ]-3;1[ \text{ et } x\in]-1;+\infty[
    x∈]−1;1[x\in]-1;1[

    Ensemble solution : S=]−1;1[S = ]-1;1[

Propriétés algébriques

Pour tout x>0x > 0, y>0y > 0 et r∈Qr \in \mathbb{Q}, on a :

  • ln⁡(xy)=ln⁡(x)+ln⁡(y)\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)
  • ln⁡(xy)=ln⁡(x)−ln⁡(y)\ln\left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y)
  • ln⁡(xr)=rln⁡(x)\ln(x^r) = r \ln(x)

Preuve

Soit y∈]0,+∞[y\in]0,+\infty[

Remarques Pour tout x>0x > 0 :

  • ln⁡(1x)=−ln⁡(x)\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\ln(x)
  • ln⁡(x)=12ln⁡(x)\ln(\sqrt{x}) = \dfrac{1}{2} \ln(x)

Exemples

Simplifier les expressions suivantes :

  • A=ln⁡(3)+ln⁡(13)−ln⁡(9)A = \ln(\sqrt{3}) + \ln\left(\dfrac{1}{3}\right) - \ln(9)
  • B=ln⁡(2+1)+ln⁡(2−1)B = \ln(\sqrt{2}+1) + \ln(\sqrt{2}-1)

Correction

A=ln⁡(3)+ln⁡(13)−ln⁡(9)=ln⁡(312)−ln⁡(3)−ln⁡(32)=12ln⁡(3)−ln⁡(3)−2ln⁡(3)=(12−1−2)ln⁡(3)=−52ln⁡(3)\begin{align*} A &= \ln\left(\sqrt{3}\right)+\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)-\ln(9) \\ &= \ln\left(3^{\frac{1}{2}}\right) - \ln(3) - \ln(3^2) \\ &= \frac{1}{2} \ln(3) - \ln(3) - 2 \ln(3) \\ &= \left(\frac{1}{2} - 1 - 2\right) \ln(3) = \frac{-5}{2} \ln(3) \end{align*}
B=ln⁡(2+1)+ln⁡(2−1)=ln⁡[(2+1)(2−1)]=ln⁡(22−12)=ln⁡(1)=0\begin{align*} B &= \ln(\sqrt{2}+1) + \ln(\sqrt{2}-1) \\ &= \ln\left[(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)\right] \\ &= \ln(\sqrt{2}^2 - 1^2) = \ln(1) = 0 \end{align*}

2) Limites

Propriétés

∙lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞\bullet\quad \lim\limits_{x\to0^+} \ln(x) = -\infty

∙lim⁡x→+∞ln⁡(x)=+∞\bullet\quad \lim\limits_{x\to+\infty} \ln(x) = +\infty

∙lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0\bullet\quad \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0

Exemple

Calculer les limites suivantes :

  • lim⁡x→+∞ln⁡(x)+1x\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)+1}{x}
  • lim⁡x→0+2x+ln⁡(x)\lim\limits_{x\to0^+} 2x+\ln(x)
  • lim⁡x→+∞ln⁡(x)−x\lim\limits_{x\to+\infty} \ln(x)-x
  • lim⁡x→+∞ln⁡(2x2+x+3)x\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(2x^2+x+3)}{x}

Correction

lim⁡x→+∞ln⁡(x)+1x=lim⁡x→+∞ln⁡(x)x+1x=0\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)+1}{x} = \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} + \dfrac{1}{x} = 0

car lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 et lim⁡x→+∞1x=0\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x} = 0

lim⁡x→0+2x+ln⁡(x)=−∞\displaystyle \lim\limits_{x\to0^+} 2x + \ln(x) = -\infty

car lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞\displaystyle \lim\limits_{x\to0^+} \ln(x) = -\infty

lim⁡x→+∞ln⁡(x)−x=lim⁡x→+∞x(ln⁡(x)x−1)=−∞\begin{aligned} \displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty} \ln(x) - x &= \lim\limits_{x\to+\infty} x\left( \dfrac{\ln(x)}{x} - 1 \right) \\&= -\infty \end{aligned}

car lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0

lim⁡x→+∞ln⁡(2x2+x+3)x=lim⁡x→+∞ln⁡(x2(2+1x+3x2))x=lim⁡x→+∞ln⁡(x2)+ln⁡(2+1x+3x2)x=lim⁡x→+∞2ln⁡(x)x+ln⁡(2+1x+3x2)x=0\begin{aligned} &\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(2x^2+x+3)}{x}\\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln\left(x^2\left(2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)\right)}{x} \\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x^2) + \ln\left(2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}{x} \\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{2\ln(x)}{x} + \dfrac{\ln\left(2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}{x} \\ &= 0 \end{aligned}

car lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0
et lim⁡x→+∞1x=0\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x} = 0

Propriété

Soit n∈N∗∖{1}n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\} :

  • lim⁡x→0+xln⁡(x)=0\displaystyle \lim\limits_{x\to0^+} x\ln(x) = 0
  • lim⁡x→0+xnln⁡(x)=0\displaystyle \lim\limits_{x\to0^+} x^n \ln(x) = 0
  • lim⁡x→+∞ln⁡(x)xn=0\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n} = 0

3) La dérivée de la fonction x↦ln(u(x))x \mapsto ln(u(x))

Propriété

Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II telle que : ∀x∈I  u(x)>0\forall x\in I ~~ u(x) > 0

La fonction f:x↦ln(u(x))f : x \mapsto ln (u(x)) est dérivable sur II et on a :

∀x∈I  ln′(u(x))=u′(x)u(x)\forall x\in I ~~\fbox{$ln'(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$}

Application

Déterminer DfD_f et Df′D_{f'}, puis calculer f′f' dans les cas suivants

∙  f(x)=ln(1−x2)          ∙  f(x)=ln(x2+x+1)\bullet ~~ f(x)=ln(1-x^2)~~~~~~~~~~ \bullet ~~f(x)=ln(x^2+x+1)

Correction

  • f(x)=ln⁡(1−x2)f(x)=\ln(1-x^2)

    Df={x∈R / 1−x2>0}={x∈R / (1−x)(1+x)>0}=]−1;1[=Df′\begin{aligned} D_f&=\left\{x\in\R ~/~ 1-x^2>0\right\}\\ &=\left\{x\in\R ~/~ (1-x)(1+x)>0\right\}\\ &=\left]-1;1\right[=D_{f'} \end{aligned}

    Pour tout x∈Dfx\in D_f on a f′(x)=ln⁡′(1−x2)=−2x1−x2f'(x)=\ln'(1-x^2)=\dfrac{-2x}{1-x^2}

  • f(x)=ln⁡(x2+x+1)f(x)=\ln(x^2+x+1)

    Df={x∈R / x2+x+1>0}D_f=\left\{x\in\R ~/~ x^2+x+1>0\right\}

    Si x2+x+1=0x^2+x+1=0

    on a : Δ=b2−4ac=−3\Delta=b^2-4ac=-3

    Donc comme a=1>0a=1>0

    alors ∀x∈R\forall x\in\R ; x2+x+1>0x^2+x+1>0

    Df=RD_f=\R

    Pour tout x∈Rx\in\R on a :

    f′(x)=ln⁡′(x2+x+1)=2x+1x2+x+1\begin{aligned} f'(x)&=\ln'(x^2+x+1)\\&=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1} \end{aligned}

Corollaire

Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II telle que : ∀x∈I  u(x)≠0\forall x\in I ~~ u(x) \ne 0

La fonction f:x↦ln(∣u(x)∣)f : x \mapsto ln(|u(x)|) est dérivable sur II et on a :

∀x∈I  ln⁡′(∣u(x)∣)=u′(x)u(x)\forall x\in I ~~ \ln'(|u(x)|)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}

Considérons la fonction ff définie par :

f(x)=ln⁡(x+1) f(x) = \ln(x+1)

Alors ff est dérivable sur ]−1;+∞[\left]-1;+\infty\right[ et on a f′(x)=11+xf'(x) = \dfrac{1}{1+x} pour tout x∈]−1;+∞[x \in \left]-1;+\infty\right[.

Pour x=0x = 0, nous avons f′(0)=11+0=1f'(0) = \dfrac{1}{1+0} = 1. En utilisant la définition de la dérivabilité, nous avons :

lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0ln⁡(x+1)x=f′(0)=1\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+1)}{x} \\&= f'(0) \\&= 1 \end{aligned}

Donc, nous concluons que :

lim⁡x→0ln⁡(x+1)x=1\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+1)}{x} = 1}

Si nous posons x=h−1x = h - 1, alors la limite devient :

lim⁡h→1ln⁡(h)h−1=1\boxed{\lim_{h \to 1} \dfrac{\ln(h)}{h-1} = 1}

Propriété

∙    lim⁡x→0ln(x+1)x=1∙    lim⁡h→1ln(h)h−1=1\begin{aligned} &\bullet~~~~{\lim\limits_{x\to0} \dfrac{ln(x+1)}{x}=1} \\ &\bullet~~~~\lim\limits_{h\to1} \dfrac{ln(h)}{h-1}=1 \end{aligned}

II. Etude de la fonction logarithme népérien

Dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)\left(O,\vec{i},\vec{j}\right) du plan, on désigne par (Cf)(Cf) la courbe représentative de la fonction ff définie par :

f(x)=ln(x)f(x) = ln(x)

  • Domaine de définition : Dln⁡=]0;+∞[\bf D_{\ln}=]0;+\infty[

  • Limites au bornes de Dln⁡D_{\ln} : lim⁡x→0+ln(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^+}ln(x)=-\infty et lim⁡x→+∞ln(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}ln(x)=+\infty

  • Les branches infinies de (Cf)\bf (C_f)

    • lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^+} f(x)=-\infty donc la droite d’équation x=0x=0 est une asymptote verticale à la courbe (Cf)(C_f)
    • lim⁡x→+∞ln(x)x=+∞\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{ln(x)}{x}=+\infty donc La courbe (Cf)(C_f) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de +∞+\infty

  • les variations : la fonction ln⁡\ln est dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[ et on a : f′(x)=ln⁡′(x)=1xf'(x)=\ln'(x)=\dfrac{1}{x}

    Donc ln⁡′(x)>0\ln'(x)>0 pour tout x∈]0;+∞[x\in]0;+\infty[ par suite lnln est strictement croissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[

x01+∞lnʹ(x)ln(x)+−∞+∞0
  • Signe de ln⁡x\bf\ln x sur ]0,+∞[]0,+\infty[
x01+∞ln(x)−+0

  • L’équation ln(x)=1\bf ln(x)=1

    On a la fonction ln⁡\ln est continue et croissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[

    Comme ln⁡(]0;+∞[)=]−∞;+∞[\ln(]0;+\infty[)=]-\infty;+\infty[ donc 1∈ln⁡(]0;+∞[)1\in \ln(]0;+\infty[)

    Alors L’équation ln⁡(x)=1\ln(x)=1 admet une unique solution dans ]0;+∞[]0;+\infty[, on note cette solution par ee, et sa valeur approchée est e≃2.718e\simeq2.718

  • L’équation de la tangente (T)\bf (T) à (Cf)\bf (C_f) au point d’abscisse 1\bf1

    (T): y=f′(1)(x−1)+f(1)=ln′(1)(x−1)+ln(1)=x−1\begin{aligned} (T):~y&=f'(1)(x-1)+f(1) \\&=ln'(1)(x-1)+ln(1)\\&=x-1 \end{aligned}

    Donc (T): y=x−1(T):~y=x-1

  • Concavité de (Cf)\bf (C_f)

    On a ln′′(x)=−1x2ln''(x)=-\dfrac{1}{x^2} pour tout xx de ]0;+∞[]0;+\infty[

    Donc ln′′(x)<0ln''(x)<0 pour tout xx de ]0;+∞[]0;+\infty[

    Alors la courbe (Cf)(C_f) de la fonction lnln est concave sur ]0;+∞[]0;+\infty[

  • Construction de la courbe (Cf)\bf (C_f)

O⃗i⃗j(Cf)

III. Logarithme décimal et logarithme de base aa

Définition

Soit aa un réel avec a>0a>0 et a≠1a\ne1. La fonction logarithme de base aa est la fonction notée log⁡a\log_a et définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[ par :

log⁡a(x)=ln⁡(x)ln⁡(a)\log_a(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}

Remarque

Pour tout réel aa avec a>0a>0 et a≠1a\ne1

  • log⁡a(a)=ln⁡(a)ln⁡(a)=1\log_a(a)=\dfrac{\ln(a)}{\ln(a)}=1
  • log⁡a(1)=ln⁡(1)ln⁡(a)=1\log_a(1)=\dfrac{\ln(1)}{\ln(a)}=1

Propriété

Pour tous x,y,a∈R+∗x,y,a\in\R^*_+ avec a≠1a\ne1 et pour tout r∈Qr\in\mathbb{Q} on a :

  • log⁡a(xy)=log⁡a(x)+log⁡a(y)\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)
  • log⁡a(xr)=r.log⁡a(x)\log_a(x^r)=r.\log_a(x)
  • log⁡a(xy)=log⁡a(x)−log⁡a(y)\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)
  • log⁡a(1x)=−log⁡a(x)\log_a\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\log_a(x)

Cas particulier : la fonction logarithme de base 10\bf 10 est la fonction logarithme décimale est notée log⁡\bf \log.

log⁡(x)=ln⁡(x)ln⁡(10)\log(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}

La fonction log⁡a\log_a est dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[ et on a :

(∀x∈]0;+∞[)  log⁡a′(x)=1xln⁡(a)(\forall x\in]0; +\infty[) ~~ \log_a'(x)=\dfrac{1}{x\ln(a)}

puisque x∈]0,+∞[x\in]0,+\infty[, alors le signe de 1xln⁡(a)\dfrac{1}{x\ln(a)} est le signe de ln⁡(a)\ln(a)

et on sait que :ln⁡a≤0\ln a\le0 si 0<a≤10<a\le1 et ln⁡a≥0\ln a\ge0 si a≥1a\ge1

et donc :

  • log⁡a′(x)≤0\log_a'(x)\le0 si si 0<a≤10<a\le1
  • log⁡a′(x)≥0\log_a'(x)\ge0 si si a≥1a\ge1

Propriété

  • Si 0<a≤10<a\le1 alors : log⁡a\log_a est strictement décroissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[
  • Si a≥1a\ge1 log⁡a\log_a est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[