Les fonctions primitives

#2bacsef

Sommaire

Définition

Soit ff une fonction définir sur un intervalle II ; On dit que la fonction FF est une fonction primitive de la fonction ff sur l’intervalle II si :

  • FF est dérivable sur II
  • (∀x∈I)  ;  F′(x)=f(x)(\forall x\in I) ~~;~~ F'(x)=f(x)

Exemple

La fonction F:x↦x2+3x−1F:x\mapsto x^2+3x-1 est une fonction primitives de la fonction f:x↦2x+3f:x\mapsto 2x+3 sur R\R en effet :

  • FF est dérivable sur R\R
  • (∀x∈R)  ;  F′(x)=(x2+3x−1)′=2x+3=f(x)(\forall x\in \R) ~~;~~ F'(x)=(x^2+3x-1)'=2x+3=f(x)

Propriété 1

Si ff admet une fonction primitive 𝐹𝐹 sur II

alors toutes les fonctions primitives de ff sur 𝐼𝐼 s’écrivent de la : forme : F+λF + \lambda où λ∈R\lambda\in\R

Propriété 2

Si ff est continue sur II alors ff admet une fonction primitive sur II

Tableau des fonctions primitives usuelles.

Fonction f(x)f(x) Primitive F(x)F(x)
f:x↦af : x \mapsto a (a∈Ra \in \mathbb{R}) F:x↦ax+cF : x \mapsto ax + c
f:x↦xnf : x \mapsto x^n (n∈Nn \in \mathbb{N}) F:x↦1n+1xn+1+cF : x \mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} + c
f:x↦xrf : x \mapsto x^r (r∈Q∖{−1}r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}) F:x↦1r+1xr+1+cF : x \mapsto \dfrac{1}{r+1}x^{r+1} + c
f:x↦sin⁡(x)f : x \mapsto \sin(x) F:x↦−cos⁡(x)+cF : x \mapsto -\cos(x) + c
f:x↦cos⁡(x)f : x \mapsto \cos(x) F:x↦sin⁡(x)+cF : x \mapsto \sin(x) + c
f:x↦1x2f : x \mapsto \dfrac{1}{x^2} ; x∈R∗x \in \mathbb{R}^* F:x↦−1x+cF : x \mapsto \dfrac{-1}{x} + c ; x∈R∗x \in \mathbb{R}^*
f:x↦1xf : x \mapsto \dfrac{1}{x} ; x∈R+∗x \in \mathbb{R}_+^* F:x↦ln⁡(x)+cF : x \mapsto \ln(x) + c ; x∈R+∗x \in \mathbb{R}_+^*
f:x↦exf : x \mapsto e^x ; x∈Rx \in \mathbb{R} F:x↦ex+cF : x \mapsto e^x + c ; x∈Rx \in \mathbb{R}

Propriété 3

Si ff admet une fonction primitive sur II et x0∈Ix_0\in I alors il existe une unique fonction F0F_0 fonction Primitive de ff telle que F(x0)=y0F(x_0)=y_0 un réel quelconque

Propriété 4

Si FF est une fonction primitive de la fonction ff sur l’intervalle II et GG une fonction primitive de la fonction gg sur l’intervalle II et α∈R\alpha\in\R, alors :

  • (F+G)(F + G) est une fonction primitive de la fonction (f+g)(f + g) sur 𝐼𝐼
  • (αF)(\alpha F) est une fonction primitive de la fonction (αf)(\alpha f) sur II

Application

Soit la fonction ff définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[ par : f(x)=x2−1x+1x2f(x)=x^2-\frac1x+\frac{1}{x^2}

  1. Déterminer les fonctions primitives de la fonction ff sur ]0;+∞[]0;+\infty[
  2. Déterminer la fonction primitive HH de la fonction ff sur ]0;+∞[]0;+\infty[ tel que : H(1)=0H(1)=0

Correction

  1. les fonctions primitives de la fonction ff sur ]0;+∞[]0;+\infty[ sont :

    F(x)=12+1x2+1−ln(x)−1x+λ=13x3−ln(x)−1x+λ\begin{align*} F(x)&=\frac{1}{2+1}x^{2+1}-ln(x)-\frac{1}{x}+\lambda\\&=\frac{1}{3}x^{3}-ln(x)-\frac{1}{x}+\lambda \end{align*}

    avec λ∈R\lambda\in\R

  2. On a

    H(x)=13x3−ln(x)−1x+λH(x)=\frac{1}{3}x^{3}-ln(x)-\frac{1}{x}+\lambda

    et H(1)=0H(1)=0

    Donc :

    13−ln(1)−1+λ=0⟹λ=−23\frac{1}{3}-ln(1)-1+\lambda=0 \Longrightarrow \lambda=-\dfrac23

    Donc ∀x∈]0;+∞[\forall x\in]0;+\infty[ :

    H(x)=13x3−ln(x)−1x−23H(x)=\frac{1}{3}x^{3}-ln(x)-\frac{1}{x}-\dfrac23

Opérations sur les fonctions primitives.

Dans le tableau suivant : uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II et α∈R\alpha \in\R fixé

Fonction f(x)f(x) Primitive F(x)F(x)
u′+v′u' + v' u+v+cu + v + c
αu′\alpha u' αu+c\alpha u + c
u′⋅unu' \cdot u^n ; n∈Nn \in \mathbb{N} 1n+1un+1+c\dfrac{1}{n+1} u^{n+1} + c
u′u2\dfrac{u'}{u^2} −1u+c\dfrac{-1}{u} + c
u′2u\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} u+c\sqrt{u} + c
u′⋅uru' \cdot u^r ; r∈Q∖{−1}r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\} 1r+1ur+1+c\dfrac{1}{r+1} u^{r+1} + c ; r∈Q∖{−1}r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}
u′u\dfrac{u'}{u} ln⁡∣u∣+c\ln\vert u\vert + c
u′euu' e^u eu+ce^u + c
u′⋅v′∘uu' \cdot v' \circ u u∘vu \circ v