Limite d'une suite numérique

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Sommaire

I. Rappels

1) Suite arithmétique

Définition
Soit pp un entier naturel et (un)n≥p(u_n)_{n \ge p} une suite numérique.
On dit que (un)n≥p(u_n)_{n \ge p} est une suite arithmétique s’il existe un réel rr tel que :

∀n≥p,un+1−un=r\forall n \ge p, \quad u_{n+1} - u_n = r

rr est appelé la raison de la suite.

Propriété
Soit (un)n≥p(u_n)_{n \ge p} une suite arithmétique de raison rr, alors :

∙un=up+r(n−p)∙Sn=up+up+1+up+2+⋯+un            =(n−p+1)(up+un)2\begin{align*} &\bullet\quad u_n = u_p + r(n - p)\\ &\bullet\quad S_n = u_p + u_{p+1} + u_{p+2} + \dots + u_n \\&~~~~~~~~~~~~= \dfrac{(n - p + 1)(u_p + u_n)}{2} \end{align*}

2) Suite géométrique

Définition
Soit pp un entier naturel et (vn)n≥p(v_n)_{n \ge p} une suite numérique.
On dit que (vn)n≥p(v_n)_{n \ge p} est géométrique s’il existe un réel qq tel que :

∀n≥p,vn+1=qvn\forall n \ge p, \quad v_{n+1} = qv_n

qq est appelé la raison de la suite (vn)n(v_n)_n.

Propriété
Soit (un)n≥p(u_n)_{n \ge p} une suite géométrique de raison qq avec q≠1q \ne 1, alors :

∙un=up×qn−p∙Sn=up+up+1+up+2+⋯+un            =up1−qn−p+11−q\begin{align*} &\bullet\quad u_n = u_p \times q^{n - p}\\ &\bullet\quad S_n = u_p + u_{p+1} + u_{p+2} + \dots + u_n \\&~~~~~~~~~~~~= u_p \dfrac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q} \end{align*}

II. Limite d’une suite

1) Limites de suites de référence

Soit la suite (un)(u_n) définie par : (∀n∈N) ; un=n2(\forall n\in\N) ~ ;~ u_n=n^2

La suite (un)(u_n) est la fonction numérique définie sur N\N par : f(n)=n2f(n)=n^2

on a lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty alors on admis que : lim⁡n→+∞n2=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty

De la me^\hat{e}me manière déduire les limites suivantes :

Propriété

Soit p∈N∗p\in\N^* , on a :

1) lim⁡n→+∞np=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} n^p=+\infty et lim⁡n→+∞n=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty

2) lim⁡n→+∞1np=0\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p}=0 et lim⁡n→+∞1n=0\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=0

2) Convergence d’une suite

Activité
Soit la suite (un)(u_n) définie par : un=2n2+1n2u_n = \dfrac{2n^2 + 1}{n^2} avec n∈N∗n \in \mathbb{N}^*

  1. Vérifier que : lim⁡n→+∞(un−2)=0\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} (u_n - 2) = 0
    On dit que (un)(u_n) est une suite convergente et sa limite est 22 :
    lim⁡n→+∞un=2\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2
  2. Posons un=f(n)u_n = f(n) avec f(x)=2x2+1x2f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2}
    Calculer lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) puis comparer le résultat avec lim⁡n→+∞un\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n.

Correction
1.

lim⁡n→+∞(un−2)=lim⁡n→+∞(2n2+1n2−2)=lim⁡n→+∞2n2+1−2n2n2=lim⁡n→+∞1n2=0\begin{align*} \lim\limits_{n \to +\infty} (u_n - 2) &= \lim\limits_{n \to +\infty} \left( \frac{2n^2 + 1}{n^2} - 2 \right)\\ &= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{2n^2 + 1 - 2n^2}{n^2}\\ &= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} \\&= 0 \end{align*}
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2x2+1x2=lim⁡x→+∞(2+1x2)=2\begin{align*} \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) &= \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^2}\\ &= \lim\limits_{x \to +\infty} \left( 2 + \frac{1}{x^2} \right) \\&= 2 \end{align*}

On a donc :

lim⁡x→+∞f(x)=2etlim⁡n→+∞un=2\begin{align*} \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2 \quad \text{et} \quad \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2 \end{align*}

Définition

Soit (un)n(u_n)_n une suite numérique :

i) On dit que (un)(u_n) est une suite convergente si :
lim⁡n→+∞un=L\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = L avec L∈RL \in \mathbb{R}.

ii) On dit que (un)(u_n) est divergente si :
lim⁡n→+∞un=±∞\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \pm\infty ou bien si (un)(u_n) n’admet pas de limite.

Exercice
Calculer la limite des suites (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n) au voisinage de +∞+\infty :

un=3n+1n3−2,vn=5n2+1n+1,wn=(−1)nu_n = \frac{3n + 1}{n^3 - 2}, \quad v_n = \frac{5n^2 + 1}{n + 1}, \quad w_n = (-1)^n

Les suites (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n) sont-elles convergentes ?

Correction

  • Pour la suite (un)(u_n) :
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞3n+1n3−2=lim⁡n→+∞n3(3n2+1n3)n3(1−2n3)=01=0\begin{align*} \lim\limits_{n \to +\infty} u_n &= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{3n + 1}{n^3 - 2}\\ \\&= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n^3 \left( \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3} \right)}{n^3 \left( 1 - \frac{2}{n^3} \right)} \\&= \frac{0}{1}\\& = 0 \end{align*}

Donc, la suite (un)(u_n) est convergente.

  • Pour la suite (vn)(v_n) :
lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞5n2+1n+1=lim⁡n→+∞5n2n=lim⁡n→+∞5n=+∞\begin{align*} \lim\limits_{n \to +\infty} v_n &= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{5n^2 + 1}{n + 1} \\&= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{5n^2}{n} \\&= \lim\limits_{n \to +\infty} 5n \\&= +\infty \end{align*}

Donc, la suite (vn)(v_n) est divergente.

  • Pour la suite (wn)(w_n) :

    La suite (wn)(w_n) alterne entre 11 et −1-1 selon la parité de nn.

    Cette suite ne tend pas vers une limite unique lorsque n→+∞n\to+\infty

    Donc, lim⁡+∞wn\lim\limits_{+\infty}w_n n’existe pas.

    et donc, la suite (wn)(w_n) est divergente car elle n’a pas de limite finie.

3) Critères de convergence

Théorème des suites monotones

  • Si (un)(u_n) est une suite croissante et majorée, alors elle est convergente.
  • Si (un)(u_n) est une suite décroissante et minorée, alors elle est convergente.

Propriété

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II de R\R, tel que f(I)⊂If(I)\subset I,

et soit une suite (un)n(u_n)_n définie par u0∈I  et un+1=f(un)u_0\in I ~\text{ et }u_{n+1}=f(u_n).

Si (un)n(u_n)_n est convergente, alors sa limite LL est la solution de l’équation f(x)=xf(x)=x

Remarque

La limite d’une suite définie par récurrence peut parfois être difficile à déterminer directement.
Dans ce cas, cette propriété permet d’identifier la limite comme une solution de l’équation f(x)=xf(x) = x.

Conditions d’application de la propriété :

  • La fonction ff est continue sur un intervalle II ;
  • f(I)⊂If(I) \subset I ;
  • un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) et u0∈Iu_0 \in I
  • La suite (un)(u_n) est convergente.

Application

Soit (un)(u_n) définie par u0=2u_0 = 2 et un+1=un+6u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}

  1. Montrer que 0<un<30 < u_n < 3
  2. Montrer que (un)(u_n) est croissante
  3. La suite est-elle convergente ?
  4. Calculer lim⁡n→+∞un\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n
  1. par récurrence.

Initialisation : u0=2u_0 = 2, donc 0<u0<30 < u_0 < 3 est vérifié.

Hérédité : Soit n∈Nn\in\N Supposons que, 0≤un≤30 \le u_n \le 3.

Alors,

0≤un+6≤3+6=9=30 \le \sqrt{u_n + 6} \le \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3

Donc, 0≤un+1=un+6<30 \le u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6} < 3.

Conclusion : par récurrence,

(∀n∈N)  0<un≤3(\forall n \in \mathbb{N}) \; 0 < u_n \le 3
un+1un=un+6un=un+6un2=1un+6un2       car un>0\begin{align*} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}&=\dfrac{\sqrt{u_n+6}}{u_n}\\ &=\sqrt{\dfrac{u_n+6}{u_n^2}}\\ &=\sqrt{\frac1{u_n}+\frac{6}{u_n^2}}~~~~~~\text{ car } u_n>0 \end{align*}

or 0<un<30 < u_n < 3 donc 1un>13\frac{1}{u_n} >\frac13 et donc 1un2>19\frac{1}{u_n^2} >\frac1{9}

1un+6un2>13+69=1\frac1{u_n}+\frac{6}{u_n^2}>\frac13+\frac69=1

et donc :

un+1un>1       et un>0\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1~~~~~~~\text{et } u_n>0

Alors : la suite (un)(u_n) est croissnate

  1. Comme la suite (un)n(u_n)_n est croissante et minorée, donc elle est convergente

  2. Soit ff la fonction définie sur I=[0,3]I=[0,3] par : f(x)=x+3f(x)=\sqrt{x+3}

on a :

  • ff est continue sur II
  • un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) et u0∈Iu_0\in I
  • La suite (un)(u_n) est convergente
  • ff est strictement croissante sur II donc f(I)=[f(0);f(1)]=[1;3]f(I)=[f(0);f(1)]=[1;3] et donc f(I)⊂If(I)\subset I

Donc la limite de la suite (un)(u_n) est la solution de l’équation f(x)=xf(x)=x

Soit x∈Ix\in I

f(x)=x  ⟺  x+6=3  ⟺  x+6=9  ⟺  x=3\begin{align*} f(x)=x &\iff \sqrt{x+6}=3 \\ &\iff x+6=9 \\ &\iff x=3 \end{align*}

Conclusion :

lim⁡n→+∞un=3\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3

Autres critères

proposition

Soient (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n) des suites numériques,

et LL, α\alpha deux réels avec α>0\alpha > 0 :

Si

  • (∀n≥p)∣un−L∣≤αvn(\forall n \ge p)\quad |u_n - L| \le \alpha v_n
  • et lim⁡n→+∞vn=0\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0

alors lim⁡n→+∞un=L\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = L.

Application

Soit (vn)(v_n) la suite définie par vn=2+(−1)nn+1v_n = 2 + \dfrac{(-1)^n}{n+1}

  1. Montrer que ∀n∈N∣vn−2∣≤1n\forall n \in \mathbb{N} \quad |v_n - 2| \le \dfrac{1}{n}
  2. En déduire lim⁡n→+∞vn\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} v_n

1. (∀n∈N) ; ∣vn−2∣≤1n(\forall n \in \mathbb{N}) ~;~ |v_n-2|\le \frac{1}{n}

Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on a

vn=2+(−1)nn+1v_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n+1}

Calculons ∣vn−2∣|v_n - 2| :

∣vn−2∣=∣2+(−1)nn+1−2∣=∣(−1)nn+1∣=1n+1\begin{align*} |v_n - 2| &= \left| 2 + \frac{(-1)^n}{n+1} - 2 \right| \\&= \left| \frac{(-1)^n}{n+1} \right| \\&= \frac{1}{n+1} \end{align*}

Puisque n+1>nn+1 > n pour tout n≥1n \geq 1, on a

1n+1≤1n\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{n}

Donc, ∣vn−2∣≤1n|v_n - 2| \leq \frac{1}{n}.

2. En déduire lim⁡n→+∞vn\lim\limits_{n\to+\infty}v_n

On sait que ∣vn−2∣≤1n|v_n - 2| \leq \frac{1}{n} et lim⁡+∞1n=0\lim\limits_{+\infty}\dfrac1n=0.

Donc :

lim⁡n→∞vn=2\lim_{n \to \infty} v_n = 2

Théorème des gendarmes
Si

  • ∀n≥pun≤vn≤wn\forall n \ge p \quad u_n \le v_n \le w_n
  • et lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞wn=L\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = L

Alors lim⁡n→+∞vn=L\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = L

Application

Soit (un)n≥1(u_n)_{n \ge 1} définie par un=sin⁡(n)n2+1u_n = \dfrac{\sin(n)}{n^2} + 1

  1. Montrer que 1−1n2≤un≤1+1n21 - \dfrac{1}{n^2} \le u_n \le 1 + \dfrac{1}{n^2}
  2. En déduire lim⁡n→+∞un\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n

1.

Pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*,

un=sin⁡(n)n2+1u_n = \frac{\sin(n)}{n^2} + 1

Sachant que ∣sin⁡(n)∣≤1|\sin(n)| \leq 1, on a

−1n2≤sin⁡(n)n2≤1n2-\frac{1}{n^2} \leq \frac{\sin(n)}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}

Donc,

1−1n2≤un≤1+1n21 - \frac{1}{n^2} \leq u_n \leq 1 + \frac{1}{n^2}

2.

On a

lim⁡n→∞(1−1n2)=1\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) = 1
lim⁡n→∞(1+1n2)=1\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right) = 1

Donc, par le théorème des gendarmes,

lim⁡n→∞un=1\lim_{n \to \infty} u_n = 1

Si

  • ∀n≥pvn≤un\forall n \ge p \quad v_n \le u_n
  • et lim⁡n→+∞vn=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty

Alors lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty

Application

Soit (wn)(w_n) définie par : w1=1w_1 = 1 et wn+1=wn(1+wn)w_{n+1} = w_n(1 + w_n)

  1. Montrer que wn≥nw_n \ge n
  2. En déduire lim⁡n→+∞wn\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} w_n

1. Par récurrence

Initialisation : Pour n=1n = 1, on a w1=1≥1w_1 = 1 \geq 1.

Hérédité : Supposons que wn≥nw_n \geq n. Alors,

wn+1=wn(1+wn)≥n(1+n)=n2+n≥n+1\begin{align*} w_{n+1} = w_n (1 + w_n) &\geq n (1 + n) = n^2 + n \\&\geq n + 1 \end{align*}

Donc, wn+1≥n+1w_{n+1} \geq n + 1.

Par induction, wn≥nw_n \geq n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

2. lim⁡n→+∞wn=?\lim\limits_{n\to+\infty}w_n=?

Puisque wn≥nw_n \geq n, alors quand n→∞n \to \infty, wn→∞w_n \to \infty.

Donc,

lim⁡n→∞wn=∞\lim_{n \to \infty} w_n = \infty

Si

  • ∀n≥pun≤vn\forall n \ge p \quad u_n \le v_n
  • et lim⁡n→+∞vn=−∞\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty

Alors : lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty

III. Suites particuliers

Propriété

Soit (un)n(u_n)_n une suite définie par : un=anu_n=a^n

  • Si −1<a<1-1<a<1, alors lim⁡n→+∞an=0\lim\limits_{n\to +\infty} a^n=0
  • Si a>1a>1, alors lim⁡n→+∞an=+∞\lim\limits_{n\to +\infty} a^n=+\infty
  • Si a≤−1a\le -1, alors lim⁡n→+∞\lim\limits_{n\to +\infty} alors la suite (an)n(a^n)_n n’admet pas de limite
  • si a=1a=1, alors lim⁡n→+∞an=1\lim\limits_{n\to +\infty} a^n=1

Exemples

  • Déterminons lim⁡n→+∞(−12)n\lim\limits_{n\to +\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^n

On a : −1<−12<1-1 <-\frac{1}{2} < 1 donc lim⁡n→+∞(−12)n=0\lim\limits_{n\to +\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^n=0

  • lim⁡n→+∞−13n=lim⁡n→+∞−(13)n=0\lim\limits_{n\to+\infty}-\frac{1}{3^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}-\left(\frac{1}{3}\right)^n=0

car −1<13<1-1 <\frac{1}{3} < 1

  • lim⁡n→+∞−3(43)n=−∞\lim\limits_{n\to+\infty}-3\left(\frac{4}{3}\right)^n=-\infty

car 43>1\frac{4}{3} > 1

lim⁡n→+∞2n−3n3n=lim⁡n→+∞2n3n−3n3n=lim⁡n→+∞(23)n−1=0−1=−1\begin{align*} \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2^n-3^n}{3^n}&=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2^n}{3^n}-\frac{3^n}{3^n}\\ &=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac23\right)^n-1\\ &=0-1=-1 \end{align*}

car −1<23<1-1 <\frac{2}{3} < 1

  • lim⁡n→+∞2n−3n2n+3n=lim⁡n→+∞(23)n−1(23)n+1=−1\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\left(\frac23\right)^n-1}{\left(\frac23\right)^n+1}=-1

Propriété

Soit α∈Q∗\alpha \in \mathbb{Q}^*

  • Si α>0\alpha>0 alors lim⁡n→+∞nα=+∞\lim\limits_{n\to+\infty} n^\alpha=+\infty
  • Si α<0\alpha<0 alors lim⁡n→+∞nα=0\lim\limits_{n\to+\infty} n^\alpha=0

Exeples

  • lim⁡n→+∞n−23=0\lim\limits_{n\to+\infty} n^{-\frac{2}{3}}=0
lim⁡n→+∞n23−n34=lim⁡n→+∞n23(1−n34n23)=lim⁡n→+∞n23(1−n34−23)=lim⁡n→+∞n23(1−n112)=−∞\begin{align*} \lim\limits_{n\to+\infty} n^{\frac{2}{3}}-n^{\frac{3}{4}} &=\lim\limits_{n\to+\infty} n^{\frac{2}{3}}\left( 1-\dfrac{n^{\frac{3}{4}}}{n^{\frac{2}{3}}} \right)\\ &=\lim\limits_{n\to+\infty} n^{\frac{2}{3}}\left( 1-n^{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}} \right)\\ &=\lim\limits_{n\to+\infty} n^{\frac{2}{3}}\left( 1-n^{\frac{1}{12}} \right)\\ &=-\infty \end{align*}

IV. Exercices

Exercice 1

Soit (un)n∈N(u_n)_{n\in\N} la suite définie par :

{u0=1un+1=3un−82un−5(∀n∈N)\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{3u_n - 8}{2u_n - 5} \quad (\forall n \in \N) \end{array} \right.

  1. Montrer que (∀n∈N) un<2(\forall n \in \N) ~ u_n < 2.

  2. On pose : (∀n∈N) vn=un−3un−2(\forall n \in \N) ~ v_n = \dfrac{u_n - 3}{u_n - 2}.

    a) Montrer que (vn)(v_n) est une suite arithmétique de raison r=2r = 2, puis calculer son premier terme.
    b) Calculer vnv_n en fonction de nn, puis en déduire : (∀n∈N) un=1+4n1+2n(\forall n \in \N) ~ u_n = \dfrac{1 + 4n}{1 + 2n}.
    c) Calculer lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n.
    d) Calculer S=v0+v1+v2+⋯+v10S = v_0 + v_1 + v_2 + \dots + v_{10}.

{u0=1un+1=3un−82un−5\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{3u_n - 8}{2u_n - 5} \end{array} \right.
  1. Par récurrence :

  • Initialisation : u0=1<2u_0 = 1 < 2

  • Hérédité : soit n∈Nn\in\N, supposons que un<2u_n < 2 et montrons que un+1<2u_{n+1} < 2

    On a :

    un+1−2=3un−82un−5−2=−un+22un−5\begin{align*} u_{n+1}-2&=\frac{3u_n - 8}{2u_n - 5} - 2\\& = \frac{-u_n + 2}{2u_n - 5} \end{align*}

    et on a un<2u_n < 2, alors −un+2>0-u_n + 2 > 0 et 2un−5<02u_n - 5 < 0

    le quotient −un+22un−5\frac{-u_n + 2}{2u_n - 5} est négatif

    et donc un+1<2u_{n+1} < 2

  • Conclusion :

    (∀n∈N) un<2(\forall n\in\N)~ u_n < 2
  1. vn=un−3un−2v_n = \dfrac{u_n - 3}{u_n - 2}

a) Montrons que (vn)(v_n) est arithmétique :

vn+1=un+1−3un+1−2=3un−7un−2\begin{align*} v_{n+1} &=\dfrac{u_{n+1}-3}{u_{n+1}-2}\\ &=\dfrac{3u_n-7}{u_n-2} \end{align*}
vn+1−vn=2un−4un−2=2v_{n+1}-v_n=\dfrac{2u_n-4}{u_n-2}=2

Donc (vn)(v_n) est une suite arithmétique de raison r=2r = 2 et de prmier terme v0v_0 :

v0=u0−3u0−2=1−31−2=2v_0 = \frac{u_0 - 3}{u_0 - 2} = \frac{1 - 3}{1 - 2} = 2

b) Exprimer vnv_n et unu_n :

Suite arithmétique :

vn=v0+nr=2+2n=2(1+n)\begin{align*} v_n &=v_0+nr\\&=2 + 2n \\&= 2(1 + n) \end{align*}

et on a :

vn=un−3un−2  ⟹  vnun−2vn=un−3  ⟹  un(vn−1)=2vn−3  ⟹  un=2vn−3vn−1\begin{align*} v_n=\frac{u_n-3}{u_n-2}&\implies v_nu_n-2v_n=u_n-3\\ &\implies u_n(v_n-1)=2v_n-3 \\ &\implies u_n=\frac{2v_n-3}{v_n-1} \end{align*}

Alors :

un=2vn−3vn−1=4n+12n+1u_n = \frac{2v_n - 3}{v_n - 1} = \frac{4n + 1}{2n + 1}

c) Calcul de la limite :

lim⁡n→∞un=lim⁡n→∞4n+12n+1=42=2\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4n + 1}{2n + 1} = \frac{4}{2} = 2

d) Calcul de S=v0+v1+⋯+v10S = v_0 + v_1 + \cdots + v_{10}

v10=2(1+10)=22v_{10}=2(1+10)=22

Suite arithmétique de premier terme v0=2v_0 = 2, raison r=2r = 2, n=11n = 11 termes :

S=112(v0+v10)=112(2+22)=132S = \frac{11}{2}(v_0 + v_{10}) = \frac{11}{2}(2 + 22) = 132

Exercice 2

Soit (un)n∈N(u_n)_{n\in\N} la suite définie par :

{u0=32un+1=2un2un+5(∀n∈N)\left\{ \begin{array}{l} u_0 = \dfrac{3}{2} \\ u_{n+1} = \dfrac{2u_n}{2u_n + 5} \quad (\forall n \in \N) \end{array} \right.

Le but de l’exercice est de déterminer la limite de la suite (un)(u_n) par trois méthodes.

  1. Calculer u1u_1.

Méthode 1

  1. Montrer par récurrence que (∀n∈N) un>0(\forall n \in \N) ~ u_n > 0.
  2. Montrer que la suite (un)(u_n) est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
  3. Soit ff la fonction définie sur I=]0;+∞[I = ]0; +\infty[ par : f(x)=2x2x+5f(x) = \dfrac{2x}{2x + 5}.
    En utilisant cette fonction, déterminer lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n.

Méthode 2

  1. Montrer que (∀n∈N) 0<un+1<25un(\forall n \in \N) ~ 0 < u_{n+1} < \dfrac{2}{5} u_n.
  2. En déduire que (∀n∈N) 0<un<32(25)n(\forall n \in \N) ~ 0 < u_n < \dfrac{3}{2} \left( \dfrac{2}{5} \right)^n.
  3. Calculer lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n.

Méthode 3

On considère la suite (vn)n∈N(v_n)_{n \in \N} définie par :

vn=4un2un+3v_n = \dfrac{4u_n}{2u_n + 3}
  1. Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=25q = \dfrac{2}{5}.
  2. Déterminer vnv_n en fonction de nn, puis en déduire unu_n en fonction de nn pour tout n∈Nn \in \N.
  3. Calculer lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n.
{u0=32un+1=2un2un+5\left\{ \begin{array}{l} u_0 = \dfrac{3}{2} \\ u_{n+1} = \dfrac{2u_n}{2u_n + 5} \end{array} \right.

1. Calcul de u1u_1 :

u1=2⋅322⋅32+5=33+5=38u_1 = \frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{3}{2} + 5} = \frac{3}{3 + 5} = \frac{3}{8}

🔹 Méthode 1 : Monotonie + fonction

  1. Montrons que un>0u_n > 0 par récurrence :
  • u0=32>0u_0 = \frac{3}{2} > 0
  • Si un>0u_n > 0 alors un+1=2un2un+5>0u_{n+1} = \dfrac{2u_n}{2u_n + 5} > 0

Donc un>0u_n > 0 pour tout nn

  1. Montrons que (un)(u_n) est décroissante :
un+1−un=un(22un+5−1)=un⋅−2un−32un+5<0u_{n+1} - u_n = u_n \left( \frac{2}{2u_n + 5} - 1 \right) = u_n \cdot \frac{-2u_n - 3}{2u_n + 5} < 0

Donc (un)(u_n) est décroissante

on a (un)(u_n) est minorée et décroissante alors ells est convergente.

  1. Étude de la limite :

Soit L=lim⁡unL = \lim u_n, alors :

L=2L2L+5  ⟹  L(2L+5)=2L  ⟹  L(2L+3)=0  ⟹  L=0 ou L=−32\begin{align*} L = \frac{2L}{2L + 5} & \implies L(2L + 5) = 2L \\ &\implies L(2L + 3) = 0\\ &\implies L=0 \text{ ou }L=-\frac32 \end{align*}

Donc L=0L = 0 (car un>0u_n > 0)

🔹 Méthode 2 : Inégalité et encadrement

  1. Montrons que :
un+1=2un2un+5<25unu_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5} < \frac{2}{5}u_n
un+1−25un=2un2un+5−25un=−4un25(2un+5)<0 car un>0\begin{align*} u_{n+1} - \frac{2}{5}u_n &=\frac{2u_n}{2u_n + 5}-\frac{2}{5}u_n\\ &=\frac{-4u_n^2}{5(2u_n + 5)}<0 \text{ car } u_n>0 \end{align*}
  1. On a montré que, pour tout n∈Nn \in \N, on a :
un+1<25unu_{n+1} < \frac{2}{5} u_n

En particulier, on obtient successivement :

  • pour n=0n = 0 : u1<25u0u_1 < \dfrac{2}{5} u_0
  • pour n=1n = 1 : u2<25u1u_2 < \dfrac{2}{5} u_1
  • pour n=2n = 2 : u3<25u2u_3 < \dfrac{2}{5} u_2
  • ⋮\vdots
  • pour n←n−1n \leftarrow n-1 : un<25un−1u_n < \dfrac{2}{5} u_{n-1}

En multipliant ces inégalités entre elles membre à membre, on obtient :

un<(25)nu0u_n < \left(\frac{2}{5}\right)^n u_0

Or u0=32u_0 = \dfrac{3}{2}, donc :

un<32(25)nu_n < \frac{3}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^n

on a lim⁡un(25)n=lim⁡un(25)n=0\lim u_n \left(\frac{2}{5}\right)^n = \lim u_n \left(\frac{2}{5}\right)^n=0

car : −1<25<1-1 < \frac{2}{5} <1

Donc lim⁡un=0\lim u_n = 0

🔹 Méthode 3 : Suite géométrique

vn+1=4un+12un+1+3=8un4un+6un+15=8un10un+15=254un2un+3=25vn\begin{align*} v_{n+1} &=\frac{4u_{n+1}}{2u_{n+1}+3}\\ &=\frac{8u_n}{4u_n+6u_n+15}\\ &=\dfrac{8u_n}{10u_n+15}\\ &=\dfrac25\dfrac{4u_n}{2u_n+3}\\ &=\dfrac25v_n \end{align*}

Donc (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=25q=\dfrac25 et de premier terme v0=1v_0=1

vn=vp.qn−p=(25)nv_n = v_p.q^{n-p}=\left(\dfrac25\right)^n
vn=4un2un+3  ⟺  2unvn+3vn=4un  ⟺  un(2vn−4)=−3vn  ⟺  un=−3vn2vn−4  ⟺  un=−3(25)n2(25)n−4\begin{align*} v_n=\frac{4u_n}{2u_n+3} &\iff 2u_nv_n+3v_n=4u_n \\ &\iff u_n(2v_n-4)=-3v_n \\ &\iff u_n=\frac{-3v_n}{2v_n-4}\\ &\iff u_n=\frac{-3\left(\dfrac25\right)^n}{2\left(\dfrac25\right)^n-4} \end{align*}

or lim⁡(25)n=0\lim \left(\dfrac25\right)^n=0 car −1<25<1-1<\dfrac25<1

Donc :

lim⁡un=0\lim u_n = 0