Construction de courbes

#2bacsef

Sommaire

Execice 1

ff est une fonction définie par : f(x)=2x2−7x+5x2−5x+7f(x)=\dfrac{2x^2-7x+5}{x^2-5x+7} dont le tableau de variations est

x−∞24+∞fʹ(x)−+−00f(x)2−132
  1. Montrer que la droite (D)(D) d’équation y=x−1y=x-1 est une asymptote oblique de (Cf)(C_f) au voisinage de +∞+\infty et −∞-\infty
  2. Etudier la position relative de la droite (D)(D) et la courbe CfC_f
  3. Construire la courbe CfC_f dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)
  1. On a : lim⁡x→−∞f(x)=2\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=2 et lim⁡x→+∞f(x)=2\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=2,

Donc la courbe (Cf)(C_f) admet une asymptote horizontale d’équation y=2y=2 au voisinge de −∞-\infty et +∞+\infty

y x ( C f ) y = 2 ~ i ~ j

Execice 2

ff est une fonction définie par : f(x)=x2+1x2−4f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}

et (Cf)(C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)

  1. Déterminer DfD_f le domaine de définition de la fonction ff
  2. Montrer que ff est paire et déduire un domaine d’étude DED_E de ff
  3. Etudier les branches infinies de (Cf)(C_f)
  4. Montrer que ff est dérivable sur DED_E
  5. Montrer que pour tout x∈DEx\in D_E on a : f′(x)=−10x(x2−4)2f'(x)=\dfrac{-10x}{(x^2-4)^2}
  6. Etudier le signe de f′(x)f'(x) sur DfD_f et dresser le tableau de variations de ff sur DED_E
  7. Ecrire l’équation de la tangente (T)(T) à (Cf)(C_f) au point d’abscisse x0=3x_0=3
  8. Construire la tangente (T)(T) et la courbe (Cf)(C_f)

1.

x∈Df  ⟺  x2−4≠0x\in D_f \iff x^2-4 \ne 0
x2−4=0  ⟺  (x−2)(x+2)=0  ⟺  x−2=0 ou x+2=0  ⟺  x=2 ou x=−2\begin{align*} x^2-4=0 &\iff (x-2)(x+2)=0 \\ &\iff x-2=0 \text{ ou }x+2=0 \\ &\iff x=2 \text{ ou }x=-2 \end{align*}
Df=R−{−2;2}=]−∞;−2[∪]−2;2[∪]2;+∞[\begin{align*} D_f &=\R-\left\{-2;2\right\} \\ &=]-\infty;-2[\cup]-2;2[\cup]2;+\infty[ \end{align*}

2.

  • On a DfD_f est centré en 00 et f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)

    Donc ff est paire

  • puisqe ff est paire donc la courbe (Cf)(C_f) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

    et donc on peut étudier ff sur DE=[0,2[∪]2;+∞[D_E=[0,2[\cup]2;+\infty[

3.

  • On a : lim⁡x→+∞f(x)=1\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1

    Donc la courbe (Cf)(C_f) admet une asymptote horizontale d’équation y=1y=1 au voisinge de +∞+\infty

  • On a lim⁡x→2−f(x)=−∞\lim\limits_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty et lim⁡x→2+f(x)=+∞\lim\limits_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty

    Donc la courbe (Cf)(C_f) admet une asymptote verticale d’équation x=2x=2

4.

ff est dérivable sur DED_E car fonction rationnelle

5.

Soit x∈DEx\in D_E, on a :

f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)f'(x) =\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}

avec u(x)=x2+1u(x)=x^2+1 et v(x)=x2−4v(x)=x^2-4

donc u′(x)=2xu'(x)=2x et v′(x)=2xv'(x)=2x

f′(x)=2x(x2−4)−(x2+1)2x(x2−4)2=2x3−8x−2x3−2x(x2−4)2=−10x(x2−4)2\begin{align*} f'(x) &=\dfrac{2x(x^2-4)-(x^2+1)2x}{(x^2-4)^2} \\ &= \dfrac{2x^3-8x-2x^3-2x}{(x^2-4)^2} \\ &= \dfrac{-10x}{(x^2-4)^2} \end{align*}

6.

Soit x∈DEx\in D_E

pour tout x∈DEx\in D_E on a ; f′(x)≤0f'(x)\le0

donc ff est décroissante sur DED_E

d’où :

f ( x ) f 0 ( x ) x 0 2 + 1 0 1 4 −1 + 1 1 − −

7.

(T) : y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)=f′(3)(x−3)+f(3)=−65x+285\begin{align*} (T)~:~y&=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \\ &=f'(3)(x-3)+f(3) \\ &=-\dfrac65 x + \dfrac{28}5 \end{align*}

8.

On trace la courbe (Cf)(C_f) sur DED_E , puis on complète en utilisant la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, puisque ff est une fonction paire.

x = − 2 x = 2 y = 1 ( T ) ( T 0 ) ( C f ) ( C f ) ( C f )

Execice 3

Soit ff la fonction définie sur R∗\mathbb{R}^* par : f(x)=x+2−1xf(x)=x+2-\dfrac{1}{x}

Questions :

  1. Calculer les limites de f(x)f(x) en 0+0^+, 0−0^-, et lorsque x→+∞x \to +\infty et x→−∞x \to -\infty.

  2. Déterminer les asymptotes éventuelles de la fonction ff.

  3. Calculer la dérivée de ff et étudier le signe de f′(x)f'(x) sur R∗\mathbb{R}^*.

    En déduire les variations de ff sur R∗\mathbb{R}^*.

  4. Tracer le graphique de ff en tenant compte des résultats précédents.

1.

  • lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty car lim⁡x→0+x+2=2\lim\limits_{x\to0^+}x+2=2 et lim⁡x→0+1x=+∞\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty

  • lim⁡x→0−f(x)=+∞\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=+\infty car lim⁡x→0−x+2=2\lim\limits_{x\to0^-}x+2=2 et lim⁡x→0−1x=−∞\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty

  • lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty

    car lim⁡x→−∞x+2=lim⁡x→−∞x=−∞\lim\limits_{x\to-\infty}x+2=\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty et lim⁡x→−∞1x=0\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0

  • lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

    car lim⁡x→+∞x+2=lim⁡x→+∞x=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}x+2=\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty et lim⁡x→+∞1x=0\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0

2.

  • On a : lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty car lim⁡x→0+x+2=2\lim\limits_{x\to0^+}x+2=2 et lim⁡x→0+1x=+∞\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty

    Donc : la droite d’équation x=0x=0 (l’axe des ordonnées) est une asymptote virticale à (Cf)(C_f)

  • On a : lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

    • Calcule de lim⁡x→+∞f(x)x\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}
    lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x+2−1xx=lim⁡x→+∞xx+2x−1xx=lim⁡x→+∞1+2x−1x2=1\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} &=\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{x+2-\frac{1}{x}}{x} \\ &=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x}{x}+\frac{2}{x}-\frac{\frac{1}{x}}{x} \\ &=\lim\limits_{x\to+\infty}1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\\ &=\fbox{1} \end{align*}

    car

    lim⁡x→+∞2x=lim⁡x→+∞1x2=0\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0

    donc a=1a=1

    • Calcule de lim⁡x→+∞f(x)−ax\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)-ax
    lim⁡x→+∞f(x)−ax=lim⁡x→+∞f(x)−1×x=lim⁡x→+∞x+2−1x−x=lim⁡x→+∞2−1x=2\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)-ax&=\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)-1\times x \\ &=\lim\limits_{x\to+\infty} x+2-\frac{1}{x}-x \\ &=\lim\limits_{x\to+\infty} 2-\frac{1}{x} \\ &=\fbox{2} \end{align*}

    Donc la droite (Δ)(\Delta) d’équation y=x+2y=x+2 est une asymptote oblique à (Cf)(C_f) au voisinage de +∞+\infty

Remarque : On peut montrer que : lim⁡x→+∞f(x)−(x+2)=lim⁡x→+∞1x=0\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)-(x+2)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0

  • lim⁡x→−∞f(x)−(x+2)=lim⁡x→−∞1x=0\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)-(x+2)=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0

    Donc la droite (Δ)(\Delta) d’équation y=x+2y=x+2 est une asymptote oblique à (Cf)(C_f) au voisinage de −∞-\infty

3.

La fonction ff est dérivable sur R∗\R^* et on a :

f′(x)=1−−1x2=1+1x2>0f'(x)=1-\frac{-1}{x^2}=1+\frac{1}{x^2}>0

et donc la fonction ff est strictement croissante sur R∗\R^*

4.

Tracé de (Cf)(C_f) :

O ~ i ~ j Asymptote oblique ( C f ) ( C f ) (¤) : y = x + 2