Axe de symétrie - centre de symétrie

#2bacsef

Sommaire

Soit ff une fonction définie sur DD, et (Cf)(C_f) sa courbe dans un repère orthonormé. aa et bb deux réels

1) Centre de symétrie

Propriété

Ω(a;b)\Omega(a;b) est le centre de symétrie de la courbe (Cf)(C_f) si :

  • ∀x∈Df : 2a−x∈Df\forall x\in D_f ~:~ 2a-x\in D_f
  • f(2a−x)+f(x)=2bf(2a-x)+f(x)=2b

Exercice

ff est une fonction numérique définie par : f(x)=x−1(x2−2x)2f(x)=\dfrac{x-1}{(x^2-2x)^2}

  1. Déterminer DfD_f le domaine de définition de ff
  2. Montrer que le point Ω(1;0)\Omega(1;0) est le centre de symétrie de la courbe (Cf)(C_f)

Correction

1. Df={x∈R/(x2−2x)2≠0}D_f=\left\{x\in\R/ (x^2-2x)^2\ne 0\right\}

Soit x∈Rx\in\R

(x2−2x)2=0⇔x2−2x=0⇔x(x−2)=0⇔x=0 ou x−2=0⇔x=0 ou x=2\begin{align*} (x^2-2x)^2=0 &\Leftrightarrow x^2-2x=0 \\ &\Leftrightarrow x(x-2)=0 \\ &\Leftrightarrow x=0 ~ ou ~ x-2=0 \\ &\Leftrightarrow x=0 ~ ou ~ x=2 \end{align*}
Df=R−{0;2}=]−∞;0[∪]0;2[∪]2;+∞[D_f=\R-\{0;2\}=]-\infty;0[\cup ]0;2[\cup ]2;+\infty[

2. Montrons que le point Ω(1;0)\Omega(1;0) est un centre de symétrie de la courbe (Cf)(C_f)

Ici ; a=1a=1 et b=0b=0

Soit x∈Dfx\in D_f Montrons que 2−x∈Df2-x\in D_f

Si 2−x∉Df2-x\notin D_f alors 2−x=02-x=0 ou 2−x=22-x=2

Donc x=2x=2 ou x=0x=0 absurde car x∈Dfx\in D_f

∀x∈Df   ;   2−x∈Df\forall x\in D_f ~~~;~~~2-x\in D_f

Montrons que f(2−x)+f(x)=2×0f(2-x)+f(x)=2\times0

f(2−x)+f(x)=2−x−1((2−x)2−2(2−x))2+x−1(x2−2x)2=1−x(4−4x+x2−4+2x)2+x−1(x2−2x)2=1−x(x2−2x)2+x−1(x2−2x)2=0\begin{align*} f(2-x)+f(x)&=\frac{2-x-1}{((2-x)^2-2(2-x))^2}+\frac{x-1}{(x^2-2x)^2} \\ &=\frac{1-x}{(4-4x+x^2-4+2x)^2}+\frac{x-1}{(x^2-2x)^2} \\ &=\frac{1-x}{(x^2-2x)^2}+\frac{x-1}{(x^2-2x)^2}=0 \end{align*}

Et par suite le point Ω(1;0)\Omega(1;0) est le centre de symétrie de la courbe (Cf)(C_f)

2) Axe de symétrie

Propriété

La droite d’équation x=ax=a est un axe de symétrie de la courbe (Cg)(C_g) si :

  • ∀x∈Dg : 2a−x∈Dg\forall x\in D_g ~:~ 2a-x\in D_g
  • g(2a−x)=g(x)g(2a-x)=g(x)

Exercice

gg est une fonction numérique définie par : g(x)=1x2−4x+3g(x)=\dfrac{1}{x^2-4x+3}

  1. Déterminer DgD_g le domaine de définition de gg
  2. Montrer que la droite (D)(D) d’équation x=2x=2 est l’axe de symétrie de la courbe (Cg)(C_g)

Correction

1. Dg={x∈R/ x2−4x+3≠0}D_g=\left\{x\in\R / ~ x^2-4x+3\ne 0\right\}

Soit x∈Rx\in\R; Si x2−4x+3=0x^2-4x+3=0

Δ=b2−4ac=16−12=4\Delta=b^2-4ac=16-12=4
x=−b+Δ2a=3  ou  x=−b−Δ2a=1x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=3 ~~ ou~~ x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=1
Dg=R−{1;3}=]−∞;1[∪]1;3[∪]3;+∞[D_g=\R-\left\{1;3\right\}=]-\infty;1[\cup ]1;3[\cup ]3;+\infty[

2. Ici ; a=2a=2

Soit x∈Dgx\in D_g Montrons que 2×2−x∈Dg2\times2-x\in D_g

Si 4−x∉Dg4-x\notin D_g alors 4−x=14-x=1 ou 4−x=34-x=3

Donc x=3x=3 ou x=1x=1 absurde car x∈Dgx\in D_g

∀x∈Dg   ;   4−x∈Dg\forall x\in D_g ~~~;~~~4-x\in D_g

Soit x∈Dgx\in D_g montrons que g(4−x)=g(x)g(4-x)=g(x)

g(4−x)=1(4−x)2−4(4−x)+3=116−8x+x2−16+4x+3=1x2−4x+3=g(x)\begin{align*} g(4-x)=&\frac{1}{(4-x)^2-4(4-x)+3} \\ &=\frac{1}{16-8x+x^2-16+4x+3} \\ &=\frac{1}{x^2-4x+3} \\ &=g(x) \end{align*}

Donc la droite (D)(D) d’équation x=2x=2 est un axe de symétrie de la courbe (Cg)(C_g)