Concavité et point d'inflexion d'une coube

Définition

$f$ est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

• Si la courbe $(C_f)$ de $f$ est située au-dessus de ses tangentes, on dit que la courbe $(C_f)$ est convexe (ou que sa concavité est dans le sens des ordonnées positives) (figure 1).
• Si la courbe $(C_f)$ de $f$ est située au-dessous de ses tangentes, on dit que la courbe $(C_f)$ est concave (ou que sa concavité est dans le sens des ordonnées négatives) (figure 2).

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et $x_0 \in I$.

On dit que le point $A(x_0, f(x_0))$ est un point d’inflexion de la courbe $(C_f)$ si la concavité de $(C_f)$ change au point $A$.

Propriété

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, et $x_0$ un élément de $I$

$\bullet$ si $\forall x\in I \ : \ f''(x)\ge 0$,

alors $(C_f)$ est convexe sur $I$

$\bullet$ si $\forall x\in I \ : \ f''(x)\le 0$,

alors $(C_f)$ est concave sur $I$

$\bullet$ si $f''(x_0) = 0$, et $f''$ change de signe au voisinage de $x_0$,

alors $A(x_0;f(x_0))$ est un point d’inflexion de la courbe $(C_f)$

Exemple

Considèrons la fonction : $f:x\mapsto x^3$ et $(C_f)$ sa courbe représentative.

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$

$f'(x)=3x^2$ donc $f''(x)=6x$

• $(\forall x\in[0;+\infty[) ~:~f''(x)\ge0$

  La courbe $C_f$ est convexe sur $]0;+\infty[$

• $(\forall x\in]-\infty;0]) ~:~f''(x)\le0$

  La courbe $C_f$ est convexe sur $]-\infty;0]$

Comme $f''(x)=0$ s’annule et change de signe en $0$ alors le point

$O(0,0)$ est un point d’inflexion pour $(C_f)$