Branches infinies

#2bacsef

Sommaire

1) Asymptotes

Définition

  • Si lim⁡x→af(x)=±∞\boxed{\lim\limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty} alors on dit que la droite d’équation x=ax=a est une asymptote à la courbe (Cf)(C_f), et elle est parallèle à l’axe des ordonnées

  • Si lim⁡x→±∞f(x)=b\boxed{\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x)=b}, alors on dit que la droite d’équation y=by=b est une asymptote à la courbe (Cf)(C_f), et elle est parallèle à l’axe des abscisses

  • Si lim⁡x→±∞f(x)−(ax+b)=0\boxed{\lim\limits_{x\to \pm\infty}f(x)-(ax+b)=0} où a≠0a\ne0, alors on dit que la droite y=ax+by=ax+b est une asymptote oblique à la courbe (Cf)(C_f) au voisinage de ±∞\pm \infty

Propriété

La droite d’équation y=ax+by=ax+b est une asymptote à la courbe (Cf)(C_f) au voisinage de ±∞\pm\infty si :

lim⁡x→±∞f(x)x=a   et   lim⁡x→±∞f(x)−ax=b\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=a ~~~et~~~ \lim\limits_{x\to \pm\infty}f(x)-ax=b

Exemples

Dans chacun des cas suivants : (Cf)(C_f) est la courbe représentative de la fonction ff

1) Asymptotes horizontale et verticales :

f(x)=2+1xf(x)=2+\dfrac1x

  • on a lim⁡x→+∞f(x)=2\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=2

    donc : la droite d’équation y=2y=2 est une asymptote horizontale à (Cf)(C_f) au voisinage de +∞+\infty.

    De me^\hat{e}me au voisinage de −∞-\infty

  • on a lim⁡x→0+f(x)=+∞\lim\limits_{x\to0^+} f(x)=+\infty

    donc : la droite d’équation x=0x=0 (l’axe des ordonnées) est une asymptote virticale à (Cf)(C_f)

  • on a lim⁡x→0−f(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^-} f(x)=-\infty

    donc : la droite d’équation x=0x=0 (l’axe des ordonnées) est une asymptote virticale à (Cf)(C_f)

  • La fonction ff est dérivable sur R∗\R^* et f′(x)=−1x2<0f'(x)=\frac{-1}{x^2}<0

Donc :

f(x)x−∞0+∞−∞+∞−∞+∞

Graphiquement :

O⃗i⃗jAsymptotehorizontaleAsymptoteverticaley=1(Cf)(Cf)

2) Asymptote oblique :

f(x)=x+2−1xf(x)=x+2-\frac{1}{x}

Au voisinage de +∞+\infty :

  • lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

    car :

    • lim⁡x→+∞x+2=lim⁡x→+∞x=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}x+2=\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty

    • lim⁡x→+∞1x=0\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0

  • Calculons lim⁡x→+∞f(x)x\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}

lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x+2−1xx=lim⁡x→+∞(xx+2x−1xx)=lim⁡x→+∞(1+2x−1x2)=1\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} &= \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{x+2 - \frac{1}{x}}{x} \\&= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{2}{x} - \frac{\frac{1}{x}}{x} \right) \\&= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} \right) \\ &= \fbox{1} \end{align*}

car lim⁡x→+∞2x=lim⁡x→+∞1x2=0\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{2}{x} = \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x^2} = 0

Donc a=1a = 1

  • Calculons lim⁡x→+∞f(x)−ax\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)-ax
lim⁡x→+∞(f(x)−ax)=lim⁡x→+∞(f(x)−1⋅x)=lim⁡x→+∞(x+2−1x−x)=lim⁡x→+∞(2−1x)=2\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty} \left(f(x) - ax \right) &= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(f(x) - 1 \cdot x \right) \\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(x + 2 - \frac{1}{x} - x \right)\\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(2 - \frac{1}{x} \right) \\ &= \fbox{2} \end{align*}

Donc la droite (Δ)(\Delta) d’équation y=x+2y = x + 2 est une asymptote oblique à la courbe (Cf)(C_f) au voisinage de +∞+\infty.

Remarque : On peut montrer que : lim⁡x→+∞f(x)−(x+2)=lim⁡x→+∞1x=0\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)-(x+2)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0

Au voisinage de −∞-\infty :

On a : lim⁡x→−∞f(x)−(x+2)=lim⁡x→−∞1x=0\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)-(x+2)=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0

Donc la droite (Δ)(\Delta) d’équation y=x+2y=x+2 est une asymptote oblique à (Cf)(C_f) au voisinage de −∞-\infty

Au voisinage de 0 :

lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty

car

  • lim⁡x→0+x+2=2\lim\limits_{x\to0^+}x+2=2
  • lim⁡x→0+1x=+∞\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty

Donc : la droite d’équation x=0x=0 (l’axe des ordonnées) est une asymptote virticale à (Cf)(C_f)

Variations de ff :

La fonction ff est dérivable sur R∗\R^* et on a :

f′(x)=1−−1x2=1+1x2>0f'(x)=1-\frac{-1}{x^2}=1+\frac{1}{x^2}>0

Donc :

f(x)x−∞0+∞−∞+∞−∞+∞

Tracé de CfC_f :

O⃗i⃗jAsymptoteoblique(Cf)(Cf)(Δ):y=x+2

2) Branches paraboliques

Définition

  • Si lim⁡x→±∞f(x)x=0\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=0 , alors on dit que la courbe (Cf)(C_f) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de ±∞\pm\infty

  • Si lim⁡x→±∞f(x)x=±∞\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=\pm\infty, alors on dit que la courbe (Cf)(C_f) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de ±∞\pm\infty

  • Si

    • lim⁡x→±∞f(x)x=a \lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=a
    • etlim⁡x→±∞f(x)−ax=±∞ \lim\limits_{x\to \pm\infty}f(x)-ax=\pm\infty

    Alors on dit que la courbe (Cf)(C_f) admet une branche parabolique de direction la droite y=ax au voisinage de ±∞\pm\infty

Exemples

Dans chacun des cas suivants : (Cf)(C_f) est la courbe représentative de la fonction ff

Cas 1 : f(x)=xf(x)=\sqrt{x}

lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} \sqrt x=+\infty
lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞xx=lim⁡x→+∞xx2=lim⁡x→+∞xx2=lim⁡x→+∞1x=0\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} &=\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\sqrt x}{x}\\ &=\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\sqrt x}{\sqrt{x^2}}\\ &=\lim\limits_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{x}{x^2}}\\ &=\lim\limits_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{1}{x}}\\ &=0 \end{align*}

Donc : lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty et lim⁡x→+∞f(x)x=0\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0,

Alors la courbe (Cf)(C_f) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de +∞+\infty

Tracé de CfC_f :

O⃗i⃗j(Cf)

Cas 2 : f(x)=−x2f(x)=-x^2

lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞−x2=−∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} -x^2=-\infty

lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞−x2x=lim⁡x→+∞−x=−∞\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{-x^2}{x} =\lim\limits_{x\to+\infty} -x = -\infty

Donc : lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty et lim⁡x→+∞f(x)x=−∞\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty,

Alors la courbe (Cf)(C_f) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de +∞+\infty

C’est la me^\hat{e}me chose au voisinage de −∞-\infty

Tracé de CfC_f :

O⃗i⃗j(Cf)

Cas 3 : f(x)=x+xf(x)=x+\sqrt x

  • lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

  • lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x+xx=lim⁡x→+∞(1+xx)=lim⁡x→+∞(1+xx2)=lim⁡x→+∞(1+1x)=1\begin{aligned} \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} &= \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{x+\sqrt{x}}{x} \\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(1+\frac{\sqrt{x}}{x}\right) = \lim\limits_{x\to+\infty} \left(1+\sqrt{\frac{x}{x^2}}\right) \\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(1+\sqrt{\frac{1}{x}}\right) = 1 \end{aligned}
  • lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞(x+x−x)=lim⁡x→+∞x=+∞\begin{aligned} \lim\limits_{x\to+\infty} \left(f(x)-x\right) &= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(x+\sqrt{x}-x\right) \\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \sqrt{x} = +\infty \end{aligned}

    Alors la courbe (Cf)(C_f) admet une branche parabolique de direction la droite d’équation y=xy = x au voisinage de +∞+\infty.

La fonction ff est dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[ et on a :

f′(x)=1+12x>0f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0

Donc ff est strictement croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[

Tracé de (Cf)(C_f)

O⃗i⃗j(Cf)y=x