Dérivée de la fonction réciproque

#2bacsef

Sommaire

Proposition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et admet une fonction réciproque f−1f^{-1} définie sur JJ, et x0∈Ix_0\in I tel que f(x0)=y0f(x_0)=y_0.
Si ff est dérivable en x0x_0 et f′(x0)≠0f'(x_0)\ne0,
alors f−1f^{-1} est dérivable en y0=f(x0)y_0=f(x_0) et on a :
(f−1)′(f(x0))=1f′(x0)(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}

📝 Démonstration

lim⁡x→y0f−1(x)−f−1(y0)x−y0\lim\limits_{x\to y_0}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(y_0)}{x-y_0}

Si on pose x=f(y)x=f(y) alors f−1(x)=yf^{-1}(x)=y
et f(x0)=y0f(x_0)=y_0, donc f−1(y0)=x0f^{-1}(y_0)=x_0
et comme x→y0x\to y_0 alors y→x0y\to x_0

lim⁡x→y0f−1(x)−f−1(y0)x−y0=lim⁡y→x0y−x0f(y)−f(x0)=lim⁡y→x01f(y)−f(x0)y−x0=1f′(x0)\begin{align*} \lim\limits_{x\to y_0}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(y_0)}{x-y_0} &=\lim\limits_{y\to x_0}\frac{y-x_0}{f(y)-f(x_0)} \\ &=\lim\limits_{y\to x_0} \frac{1}{\frac{f(y)-f(x_0)}{y-x_0}} \\ &=\frac{1}{f'(x_0)} \end{align*}

Corollaire

Si la fonction ff est dérivable sur II avec (∀x∈I):f′(x)≠0(\forall x\in I) : f'(x)\ne0 alors f−1f^{-1} est dérivable sur f(I)f(I) et on a :

(∀y∈f(I)) : (f−1)′(y)=1f′(f−1(y))(\forall y\in f(I)) \ :\ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}

Exercice

On considère la fonction ff définie sur R+\mathbb{R}^+ par : f(x)=1+x2f(x)=\sqrt{1+x^2}

  1. Montrer que ff admet une fonction réciproque définie sur un intervalle JJ à déterminer.
  2. Calculer f(3)f(\sqrt{3}) puis montrer que la fonction f−1f^{-1} est dérivable en 22 et calculer (f−1)′(2)(f^{-1})'(2)

Correction

1. On a : ∀x∈R : 1+x2>0\forall x\in\mathbb{R} ~:~1+x^2>0 ff est dérivable sur R+∗\mathbb{R}^*_+ comme composée :

∀x∈R+∗f′(x)=(1+x2)′21+x2=x1+x2≥0\begin{align*} \forall x\in\mathbb{R}^*_+ \quad f'(x)&=\frac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}\\&=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ge0 \end{align*}

Donc ff est strictement croissante sur R+∗\mathbb{R}^*_+.

ff est continue et strictement croissante sur R+∗\mathbb{R}^*_+,

Donc elle admet une fonction réciproque définie sur :

J=f(R+∗)=f(]0;+∞[)=]lim⁡x→0+f(x),lim⁡x→+∞f(x)[=]1;+∞[\begin{align*} J&=f(\mathbb{R}^*_+)\\&=f\left(]0;+\infty[\right)\\&=\left]\lim\limits_{x\to0^+}f(x),\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\right[\\&=]1;+\infty[ \end{align*}

2. f(3)=1+32=2f(\sqrt{3})=\sqrt{1+\sqrt{3}^2}=2

ff est dérivable en 3\sqrt{3} et :

f′(3)=31+32=32≠0\begin{align*} f'(\sqrt{3})&=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+\sqrt{3}^2}}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne0 \end{align*}

Donc f−1f^{-1} est dérivable en 22 et :

(f−1)′(2)=1f′(f−1(2))=1f′(3)=23=233\begin{align*} (f^{-1})'(2)&=\frac{1}{f'(f^{-1}(2))}\\&=\frac{1}{f'(\sqrt{3})}\\&=\frac{2}{\sqrt{3}}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{align*}

Activité

Calculer la fonction dérivée de la fonction x↦xnx\mapsto \sqrt[n]{x} avec n∈N∗n\in\mathbb{N}^*
(on peut utiliser la fonction réciproque)

Correction

On sait que la fonction f:x↦xnf:x\mapsto x^n est la fonction réciproque de
f−1:x↦xnf^{-1}:x\mapsto \sqrt[n]{x} définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[.

Donc f−1f^{-1} est dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[ et :

(f−1)′(x)=1f′(f−1(x))(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

On a f′(x)=nxn−1f'(x)=nx^{n-1} donc :

f′(f−1(x))=f′(xn)=n(xn)n−1f'(f^{-1}(x))=f'(\sqrt[n]{x})=n(\sqrt[n]{x})^{n-1}

D’où :

(f−1)′(x)=1n(xn)n−1(f^{-1})'(x)=\frac{1}{n(\sqrt[n]{x})^{n-1}}

Proposition

Soit n∈N∗n\in\mathbb{N}^*, on a :
La fonction u:x↦xnu: x \mapsto \sqrt[n]{x} est dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[ et :

(∀x∈]0;+∞[)u′(x)=1n(xn)n−1(\forall x\in ]0;+\infty[) \quad u'(x)=\frac{1}{n(\sqrt[n]{x})^{n-1}}

Exercice

Calculer la dérivée de la fonction ff définie par : f(x)=x4+x3f(x)=x^4+\sqrt[3]{x}

Correction

La fonction ff est dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[ comme somme de fonctions dérivables :

f′(x)=4x3+13(x3)2f'(x)=4x^3+\frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2}