Dérivée de la composée de deux fonctions

#2bacsef

Sommaire

Dérivée de la composée de deux fonctions

Proposition
Si ff est dérivable en x0x_0 et gg dérivable en f(x0)f(x_0) alors :
la fonction g∘fg\circ f est dérivable en x0x_0 et on a
(g∘f)′(x0)=f′(x0)×g′(f(x0))(g\circ f)'(x_0) = f'(x_0)\times g'(f(x_0))

📝 Démonstration
Supposons que ff est dérivable en x0x_0 et gg dérivable en f(x0)f(x_0) :
ff est dérivable en x0x_0 alors

  ⟹  lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)∈R\implies \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)\in\mathbb{R}

gg est dérivable en f(x0)f(x_0)

  ⟹  lim⁡x→x0g(f(x))−g(f(x0))f(x)−f(x0)=g′(f(x0))∈R\implies\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} = g'(f(x_0))\in\mathbb{R}
lim⁡x→x0g(f(x))−g(f(x0))x−x0=lim⁡x→x0g(f(x))−g(f(x0))f(x)−f(x0)⋅f(x)−f(x0)x−x0=g′(f(x0))⋅f′(x0)\begin{aligned} \lim_{x \to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0} &= \lim_{x \to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} \cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ &= g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0) \end{aligned}

Corollaire

Si uu et vv sont deux fonctions dérivables respectivement sur les intervalles II et JJ tels que v(J)⊂Iv(J) \subset I, alors :
la fonction u∘vu\circ v est dérivable sur JJ et
∀x∈J,(u∘v)′(x)=v′(x)⋅u′(v(x))\forall x \in J,\quad (u\circ v)'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x))

Exemple

  1. Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sin⁡(x2+x+1)f(x) = \sin(x^2 + x + 1)
    La fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} comme composée de deux fonctions dérivables :

    • u(x)=sin⁡(x)u(x) = \sin(x)
    • v(x)=x2+x+1v(x) = x^2 + x + 1

    f(x)=u∘v(x)f(x) = u \circ v(x)

    ∀x∈R,{u′(x)=cos⁡(x)v′(x)=2x+1\forall x \in \mathbb{R},\quad \left\{ \begin{aligned} u'(x) &= \cos(x) \\ v'(x) &= 2x + 1 \end{aligned} \right.
    ∀x∈R,f′(x)=v′(x)⋅u′(v(x))=(2x+1)cos⁡(x2+x+1)\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R},\quad f'(x) &= v'(x) \cdot u'(v(x)) \\ &= (2x + 1) \cos(x^2 + x + 1) \end{aligned}

  2. Soit gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=x2+1g(x) = \sqrt{x^2 + 1}
    La fonction gg est dérivable sur R\mathbb{R} comme composée de :

    • u(x)=xu(x) = \sqrt{x}
    • v(x)=x2+1v(x) = x^2 + 1

    g(x)=u∘v(x)g(x) = u \circ v(x)

    ∀x∈R,{u′(x)=12xv′(x)=2x\forall x \in \mathbb{R},\quad \left\{ \begin{aligned} u'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ v'(x) &= 2x \end{aligned} \right.
    ∀x∈R,g′(x)=v′(x)⋅u′(v(x))=2x⋅12x2+1=xx2+1\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R},\quad g'(x) &= v'(x) \cdot u'(v(x)) \\ &= 2x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \end{aligned}

Résultats utiles

  • Si ff est dérivable sur un intervalle II et n∈Nn \in \mathbb{N} alors : (fn)′=nf′fn−1(f^n)' = n f' f^{n-1}

  • Si ff est dérivable et strictement positive sur un intervalle II alors : (f)′=f′2f(\sqrt{f})' = \frac{f'}{2\sqrt{f}}

Exercice

Dans chaque cas, calculer la fonction dérivée :

  • f(x)=x2+x+1f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}
  • g(x)=(cos⁡(x)+1)3g(x) = (\cos(x) + 1)^3

Correction

  • f(x)=x2+x+1f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}
    Domaine de définition : Df={x∈R∣x2+x+1≥0}D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 + x + 1 \ge 0 \} On a Δ=b2−4ac=12−4⋅1⋅1=−3<0\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0
    Donc x2+x+1>0x^2 + x + 1 > 0 pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}
    Alors ff est dérivable sur R\mathbb{R}

    ∀x∈R,f′(x)=(x2+x+1)′2x2+x+1=2x+12x2+x+1\forall x \in \mathbb{R},\quad f'(x) = \frac{(x^2 + x + 1)'}{2\sqrt{x^2 + x + 1}} = \frac{2x + 1}{2\sqrt{x^2 + x + 1}}

  • g(x)=(cos⁡(x)+1)3g(x) = (\cos(x) + 1)^3
    gg est dérivable sur R\mathbb{R} comme composée de x↦x3x \mapsto x^3 et x↦cos⁡(x)+1x \mapsto \cos(x) + 1

    ∀x∈R,g′(x)=3(cos⁡(x)+1)2⋅(−sin⁡(x))=−3sin⁡(x)(cos⁡(x)+1)2\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R},\quad g'(x) &= 3 (\cos(x) + 1)^2 \cdot (-\sin(x)) \\ &= -3\sin(x)(\cos(x) + 1)^2 \end{aligned}