Dérivation - Rappelles

#2bacsef

Sommaire

1) Nombre dérivé

Définition

On dit que ff est dérivable en x0x_0 si :

lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0∈R\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \in \mathbb{R}

(La limite existe et est finie), et dans ce cas, on a :

  • Le nombre f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} est appelé le nombre dérivé de ff en x0x_0.
  • (T):y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)(T): y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) est une équation de la tangente à la courbe de ff au point A(x0,f(x0))A(x_0, f(x_0)).
xyx0f(x0)
xyx0f(x0)

Exemple

Pour : f(x)=12x2f(x) = \frac{1}{2}x^2, on a :

lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=lim⁡x→212x2−1222x−2=lim⁡x→212(x−2)(x+2)x−2=lim⁡x→212(x+2)=2\begin{align*} \lim\limits_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} &= \lim\limits_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2} 2^2}{x - 2} \\ &= \lim\limits_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2}(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \\ &= \lim\limits_{x \to 2} \frac{1}{2}(x + 2) \\ &= 2 \end{align*}

Donc ff est dérivable en 22 et f′(2)=2f'(2) = 2.

Une équation de la tangente à la courbe de ff au point A(2,1)A(2, 1) est :

(T):y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)=2(x−2)+f(2)=2x−2\begin{align*} (T): y &= f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \\&= 2(x - 2) + f(2) \\&= 2x - 2 \end{align*}

Graphiquement :

O22

Proposition

Si ff est dérivable en x0x_0, alors ff est continue en x0x_0.

2) Dérivabilité à droite, à gauche

Définition

1. On dit que ff est dérivable à droite en x0x_0 si :

lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0∈R\lim\limits_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \in \mathbb{R}

(La limite existe et est finie) et on pose fd′(x0)=lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0f'_d(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.

Dans ce cas, on a :

  • Le nombre fd′(x0)f'_d(x_0) est appelé le nombre dérivé de ff à droite en x0x_0.
  • L’équation (T):y=fd′(x0)(x−x0)+f(x0)(T) : y = f'_d(x_0)(x - x_0) + f(x_0) est l’équation de la demi-tangente à la courbe de ff au point A(x0,f(x0))A(x_0, f(x_0)).

2. On dit que ff est dérivable à gauche en x0x_0 si :

lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0∈R\lim\limits_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \in \mathbb{R}

(La limite existe et est finie) et on pose fg′(x0)=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0f'_g(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.

Dans ce cas, on a :

  • Le nombre fg′(x0)f'_g(x_0) est appelé le nombre dérivé de ff à gauche en x0x_0.
  • L’équation (T):y=fg′(x0)(x−x0)+f(x0)(T) : y = f'_g(x_0)(x - x_0) + f(x_0) est l’équation de la demi-tangente à la courbe de ff au point A(x0,f(x0))A(x_0, f(x_0)).
xyx0f(x0)x≤x0
xyx0f(x0)x0≤x

Exemple

Soit la fonction définie par :

f(x)={x2x+1−1si x>0,0si x=0.f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{\sqrt{x+1} - 1} & \text{si } x > 0, \\ 0 & \text{si } x = 0. \end{cases}

Étudier la dérivabilité de ff à droite en x0=0x_0 = 0.

On cherche :

lim⁡x→0+f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0+x2x+1−1x=lim⁡x→0+xx+1−1.\begin{align*} \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} &= \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^2}{\sqrt{x+1} - 1}}{x} \\ &= \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{\sqrt{x+1} - 1}. \end{align*}

En multipliant par x+1+1x+1+1\frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1}, on obtient :

lim⁡x→0+x(x+1+1)x=lim⁡x→0+x+1+1=2.\begin{align*} \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x(\sqrt{x+1} + 1)}{x} &= \lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{x+1} + 1 \\ &= 2. \end{align*}

Ainsi, ff est dérivable à droite en 00 et fd′(0)=2f'_d(0) = 2.

Proposition

Si ff est dérivable en x0x_0, alors ff est dérivable à droite et à gauche en x0x_0, et fd′(x0)=fg′(x0)f'_d(x_0) = f'_g(x_0).

Dans ce cas, on pose :

f′(x0)=fd′(x0)=fg′(x0).f'(x_0) = f'_d(x_0) = f'_g(x_0).

3) Demi-tangente horizontale

Définition

ff est une fonction définie en x0x_0 tel que :

lim⁡x→x0x<x0f(x)−f(x0)x−x0=±∞\lim\limits_{\underset{x<x_0}{x\to x_0}} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\pm\infty

ou

lim⁡x→x0x>x0f(x)−f(x0)x−x0=±∞\lim\limits_{\underset{x > x_0}{x\to x_0}} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\pm\infty

Alors la courbe (Cf)(C_f) admet une demi-tangente au point (x0,f(x0))(x_0,f(x_0)) parallèle à l’axe des coordonnées

lim⁡x→x0x>x0f(x)−f(x0)x−x0=+∞\boxed{\lim\limits_{\underset{x>x_0}{x\to x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty}

Demi-tangente dirigée vers le haut

xyx0f(x0)x≥x0
lim⁡x→x0x>x0f(x)−f(x0)x−x0=−∞\boxed{\lim\limits_{\underset{x>x_0}{x\to x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty}

Demi-tangente dirigée vers le bas

xyx0f(x0)x≥x0
lim⁡x→x0x<x0f(x)−f(x0)x−x0=−∞\boxed{\lim\limits_{\underset{x<x_0}{x\to x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty}

Demi-tangente dirigée vers le haut

xyx0f(x0)x≤x0
lim⁡x→x0x<x0f(x)−f(x0)x−x0=−∞\boxed{\lim\limits_{\underset{x<x_0}{x\to x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty}

Demi-tangente dirigée vers le bas

xyx0f(x0)x≤x0

3) Dérivées de fonctions usuelles

Définition

ff une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert II

  • On dit que ff est dérivable sur II si elle est dérivable en tout point de II et la fonction :
    f′: I↦R     x↦f′(x)f':\ I \mapsto \mathbb{R} ~~~~~ x \mapsto f'(x) s’appelle la fonction dérivée de ff
  • Si ff est dérivable sur un intervalle II on pose y=f(x)y=f(x) et on écrit par convention :
    f′(x)=dydxf'(x)=\frac{dy}{dx} : l’écriture différentielle

Remarque

Si ff est dérivable en x∈Ix \in I alors
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

On a f′(x)=lim⁡t→xf(t)−f(x)t−xf'(x) = \lim\limits_{t \to x} \dfrac{f(t) - f(x)}{t - x} puis on pose h=t−xh = t - x donc

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}

Exemple

Considérons ff la fonction définie sur R∗\mathbb{R}^* par : f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}
Soit x∈R∗x \in \mathbb{R}^* et supposons que ff est dérivable en xx alors :

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01x+h−1xh=lim⁡h→0x−x−hx(x+h)h=lim⁡h→0−hx(x+h)⋅1h=lim⁡h→0−1x(x+h)=−1x(x+0)=−1x2\begin{aligned} f'(x) &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\frac{x - x - h}{x(x+h)}}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{-h}{x(x+h)} \cdot \frac{1}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} \\ &= \frac{-1}{x(x+0)} \\ &= \frac{-1}{x^2} \end{aligned}

Résultats usuels

De la même méthode on a trouvé les résultats du tableau suivant :

La fonction ff La fonction f′f' ff est dérivable sur
x↦ax \mapsto a ; (a∈R)(a \in \mathbb{R}) x↦0x \mapsto 0 ]−∞;+∞[\left]-\infty ; +\infty\right[
x↦xx \mapsto x x↦1x \mapsto 1 ]−∞;+∞[\left]-\infty ; +\infty\right[
x↦xnx \mapsto x^n ; (n∈N∗∖{1})(n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}) x↦nxn−1x \mapsto nx^{n-1} ]−∞;+∞[\left]-\infty ; +\infty\right[
x↦1xx \mapsto \frac{1}{x} x↦−1x2x \mapsto -\frac{1}{x^2} ]−∞;0[\left]-\infty ; 0\right[ ou ]0;+∞[\left]0 ; +\infty\right[
x↦xx \mapsto \sqrt{x} x↦12xx \mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}} ]0;+∞[\left]0 ; +\infty\right[
x↦sin⁡(x)x \mapsto \sin(x) x↦cos⁡(x)x \mapsto \cos(x) ]−∞;+∞[\left]-\infty ; +\infty\right[
x↦cos⁡(x)x \mapsto \cos(x) x↦−sin⁡(x)x \mapsto -\sin(x) ]−∞;+∞[\left]-\infty ; +\infty\right[
x↦tan⁡(x)x \mapsto \tan(x) x↦1+tan⁡2(x)x \mapsto 1 + \tan^2(x) ]−π2+kπ;π2+kπ[]-\frac{\pi}{2}+k\pi ; \frac{\pi}{2}+k\pi[, k∈Zk \in \mathbb{Z}

Propriété — Opérations sur les fonctions dérivables

Si ff et gg sont dérivables sur un intervalle II, et α∈R\alpha \in \mathbb{R} alors :

  • les fonctions f+gf+g, αf\alpha f et fgfg sont dérivables sur II et on a :
    (f+g)′=f′+g′;(αf)′=αf′;(fg)′=f′g+fg′(f+g)' = f' + g' \quad ; \quad (\alpha f)' = \alpha f' \quad ; \quad (fg)' = f'g + fg'
  • Si ∀x∈I\forall x \in I : g(x)≠0g(x) \ne 0, alors 1g\frac{1}{g} et fg\frac{f}{g} sont dérivables sur II et on a :
    (1g)′=−g′g2;(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'}{g^2} \quad ; \quad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Corollaire

  • Toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.

Exercice

  1. Soient uu, vv et ff les fonctions définies sur R\mathbb{R} par :
    u(x)=x4−2x3+3x−1u(x) = x^4 - 2x^3 + 3x - 1 ; v(x)=x2+1v(x) = x^2 + 1 et f(x)=x4−2x3+3x−1x2+1f(x) = \dfrac{x^4 - 2x^3 + 3x - 1}{x^2 + 1}
    Calculer u′(x)u'(x) ; v′(x)v'(x) et f′(x)f'(x)

  2. Déterminer la fonction dérivée de la fonction ff dans chacun des cas suivants :

    a. f(x)=2x−1xf(x) = 2x - \dfrac{1}{x}

    b. f(x)=2x2+xxf(x) = 2x^2 + x\sqrt{x}

Correction

1.

  • La fonction uu est dérivable sur R\mathbb{R} car fonction polynôme et on a :
∀x∈R : u′(x)=4x3−6x2+3\forall x \in \mathbb{R} ~:~ u'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3
  • La fonction vv est dérivable sur R\mathbb{R} car fonction polynôme et on a :
∀x∈R : v′(x)=2x\forall x \in \mathbb{R} ~:~ v'(x) = 2x
  • La fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} car fonction rationnelle et on a :
∀x∈R : f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)=(4x3−6x2+3)(x2+1)−(x4−2x3+3x−1)(2x)(x2+1)2=2x5−2x4+4x3−9x2+2x+3(x2+1)2\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R} ~:~ f'(x) &= \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} \\ &= \frac{(4x^3 - 6x^2 + 3)(x^2 + 1) - (x^4 - 2x^3 + 3x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \frac{2x^5 - 2x^4 + 4x^3 - 9x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned}

2.

a.

f(x)=2x−1xf(x) = 2x - \dfrac{1}{x}

La fonction ff est dérivable sur R∗\mathbb{R}^* comme somme de deux fonctions dérivables sur R∗\mathbb{R}^*.

∀x∈R∗ : f′(x)=2+1x2\forall x \in \mathbb{R}^* ~:~ f'(x) = 2 + \frac{1}{x^2}

b.

f(x)=2x2+xxf(x) = 2x^2 + x\sqrt{x}

La fonction ff est dérivable sur R+∗\mathbb{R}_+^* comme somme et produit de fonctions dérivables.

∀x∈R+∗ : f′(x)=4x+x+x⋅12x=4x+x+x2=8x+3x2\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R}_+^* ~:~ f'(x) &= 4x + \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= 4x + \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} \\ &= \frac{8x + 3\sqrt{x}}{2} \end{aligned}