Puissance rationnelle d’un nombre réel positif

I. Définiton

Définition

Soient $x \in \mathbb{R}^{*+}$, $n \in \mathbb{N}^*$ et $m \in \mathbb{N}$, on pose $r = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$.

• Le nombre $\sqrt[n]{x^m}$ s’écrit :
  $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} = x^r$
  $x^r$ est appelé puissance rationnelle du nombre réel positif $x$ d’exposant $r$.
• $0^r = 0$ avec $r \ne 0$.

Remarque

La définition de l’exposant dans $\mathbb{Q}$ est un prolongement de l’exposant dans $\mathbb{Z}$.

Exercice

Écrire les nombres suivants sous la forme $x^r$ ($r \in \mathbb{Q}$) :
$(\sqrt[9]{5})^3 \quad ; \quad (\sqrt[3]{7})^{-4} \quad ; \quad (\sqrt[4]{13})^{12}$

Correction

• $(\sqrt[9]{5})^3 = 5^{\frac{3}{9}} = 5^{\frac{1}{3}}$
• $(\sqrt[3]{7})^{-4} = 7^{\frac{-4}{3}}$
• $(\sqrt[4]{13})^{12} = 13^{\frac{12}{4}} = 13^3$

II. Propriétés

Soient $r, r' \in \mathbb{Q}$ et $a, b \in \mathbb{R}^{*+}$ :

• $a^r > 0$
• $a^0 = 1$ avec $a \ne 0$
• $a^r = b^r \Leftrightarrow a = b$
• $(a^r)^{r'} = a^{r \cdot r'}$
• $\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}$
• $a^{-r} = \frac{1}{a^r}$
• $\frac{a^r}{a^{r'}} = a^{r - r'}$
• $a^r \cdot b^r = (a \cdot b)^r$
• $a^r \cdot a^{r'} = a^{r + r'}$

III. Exercice

1. Simplifier :
   $A = (2^{\frac{-1}{3}})^5 \cdot 4^{\frac{-1}{2}} \cdot 8^{\frac{2}{3}}$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
   $(2x - 1)^{\frac{2}{3}} = 16$

Correction

1.

2.

Comme $\frac{65}{2} \in \left[\frac{1}{2}, +\infty\right[$, c’est une solution de l’équation.