Continuité d'une foonction numérique

I) Continuité en un point et sur un intervalle

🧩 Activité

Soit $(C_f)$ la courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i}, \vec{j})$ d’une fonction $f$ :

1. Que remarquez-vous sur la courbe $(C_f)$ au point d’abscisse $x_0=-1$, de même au point d’abscisse $x_0=4$ ?
2. a. Déterminer $f(4)$ et $\lim\limits_{x\to4} f(x)$
   b. Déterminer $f(-1)$, puis étudier la limite de $f$ en $-1$

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✔️ Correction

1. Au point d’abscisse $x_0=-1$ on voit qu’il y a une « coupure » dans le graphe de $f$, par contre au point d’abscisse $x_0=4$ on voit qu’il n’y a pas de « coupure » dans le graphe de $f$.

2. a.

   • $f(4)=6$
   • $\lim\limits_{x\to4}f(x)=6$

   b.

   • $f(-1)=1$
   • $\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=1$
   • $\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=2$

   Comme $\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)\ne\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)$,
   alors $f$ n’a pas de limite au point d’abscisse $x_0=-1$

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1) La continuité en un point

Dans toute la suite : $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0$ un élément de $I$

🔍 Définition

On dit qu’une fonction $f$ est continue au point $x_0$ si

🌟Exemples

i) Soit la fonction $f$ définie par :

On a

Donc

Par suite : la fonction $f$ est continue en $1$.

ii) Soit la fonction $g$ définie par :

On a

Donc

Par suite : la fonction $g$ n’est pas continue en $0$.

🔍 Définition

i) Si $f$ est définie sur $I = [x_0 \, ; \, x_0 + \alpha[$,
on dit que $f$ est continue à droite en $x_0$ si

ii) Si $f$ est définie sur $I = ]x_0 - \alpha \, ; \, x_0]$,
on dit que $f$ est continue à gauche en $x_0$ si

🔸 Proposition

On dit que $f$ est continue au point $x_0$ si et seulement si

🌟Exemples

1. Considérons la fonction $f$ définie par :

• $\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} (x+1) = 2$

Donc $\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$, la fonction est continue à gauche en $1$.

• $\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} (-x+3) = 2$

Donc $\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$, la fonction est continue à droite en $1$.

• Comme

la fonction $f$ est continue en $1$.

2. Dans l’activité 1, on a :

donc $f$ n’est pas continue en $-1$.

2) La continuité sur un intervalle

🔍 Définition

1. On dit que $f$ est continue sur un intervalle ouvert $I$, si elle est continue en tout point $x_0$ de $I$.

2. On dit que $f$ est continue sur $[a, b]$, si elle est continue sur $]a, b[$, continue à droite en $a$, et continue à gauche en $b$.

3. On dit que $f$ est continue sur $[a, b[$, si elle est continue sur $]a, b[$, et continue à droite en $a$.

4. On dit que $f$ est continue sur $]a, b]$, si elle est continue sur $]a, b[$, et continue à gauche en $b$.

5. On dit que $f$ est continue sur $]-\infty, b]$, si elle est continue sur $]-\infty, b[$, et continue à gauche en $b$.

6. On dit que $f$ est continue sur $[a, +\infty[$, si elle est continue sur $]a, +\infty[$, et continue à droite en $a$.

🔸 Proposition : Continuité des fonctions usuelles

1. Toute fonction polynômiale est continue sur $\mathbb{R}$.

2. Toute fonction rationnelle est continue sur un intervalle inclus dans son domaine de définition.

3. Les fonctions $x \mapsto \sin(x) \quad \text{et} \quad x \mapsto \cos(x)$ sont continues sur $\mathbb{R}$.

4. La fonction $x \mapsto \tan(x)$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \ ;\ k \in \mathbb{Z} \right\}$

5. La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$.

🌟 Exemple

i) La fonction $f : x \mapsto x^3 + 3x^2 - 4x + 7$
est continue sur $\mathbb{R}$ parce qu’elle est une fonction polynômiale.

ii) La fonction $g : x \mapsto \frac{x^2 + x + 1}{x - 2}$

le domaine de définition de $g$ et $D_g=\mathbb{R} \setminus \{-2\}$

Donc $g$ est continue sur $]2, +\infty[$ parce qu’elle est une fonction rationnelle, et $]2, +\infty[ \subset \mathbb{R} \setminus \{-2\}$

L’image d’un intervalle, d’un segment par une fonction continue

🔷 Propriété

1. L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
2. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

💡 Remarque

Si $f$ est continue sur un segment $[a,\ b]$ et $M$ et $m$ sont respectivement le maximum et le minimum de $f$ sur $[a,\ b]$, alors :

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🌟 Exemple

On donne ci-dessous la courbe d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2,\ 4]$ :

Déterminer l’image des intervalles suivants : $[-2,3]$ , $\left[0,1\right]$, et $[-2,4]$ par $f$.

✔️ Correction

On remarque que la fonction $f$ est continue sur $\left[-2,\ 4\right]$.

• Image de l’intervalle $[-2,3]$ :

  $f(1) = -2$ est la valeur minimale de $f$ sur $[-2,3]$
  $f(-1) = 1$ est la valeur maximale de $f$ sur $[-2,3]$
  Donc :

  $$f([-2,3]) = [-2,1]$$

• Image de l’intervalle $[0,1]$ :

  $f(1) = -2$ est la valeur minimale de $f$ sur $[0,1]$
  $f(0) = 0$ est la valeur maximale de $f$ sur $[0,1]$
  Donc :

  $$f([0,1]) = [-2,0]$$

• Image de l’intervalle $[-2,4]$ :

  $f(1) = -2$ est la valeur minimale de $f$ sur $[-2,4]$
  $f(-1) = 1$ est la valeur maximale de $f$ sur $[-2,4]$
  Donc :

  $$f([-2,4]) = [-2,1]$$

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🔷 Propriété

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$.

Dans ce tableau, $a$ et $b$ sont deux réels avec $a < b$.

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🌟 Exemple

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

Son tableau de variations est :

Déterminer l’image des intervalles suivants : $]-\infty, 2]$ , $[2,+\infty[$ et $]−1,1]$.

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✔️ Correction

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c’est une fonction polynôme.

• $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty,\ 2]$, donc :

  $$f(]-\infty,2]) = [f(2), \lim_{x \to -\infty} f(x)[ = [-5, +\infty[$$

• $f$ est strictement croissante sur $[2, +\infty[$, donc :

  $$f([2, +\infty[) = [f(2), \lim_{x \to +\infty} f(x)[ = [-5, +\infty[$$

• $f$ est strictement décroissante sur $]-1, 1]$, donc :

  $$f(]-1, 1]) = [f(1), \lim_{x \to -1^+} f(x)[ = [-4, 4[$$

3) Opérations sur les fonctions continues

🔸 Proposition

Soient $I$ un intervalle ouvert et $k$ un réel,
et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $I$ :

i) Les fonctions $f+g$, $f \cdot g$, $|f|$ et $kf$ sont continues sur $I$.

ii) Si $g$ est non nulle sur $I$, alors $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues sur $I$.

🌟 Exemple

i) La fonction $f : x \mapsto 3x^4 + x^2 + 1 + \sqrt{x}$ est continue sur $[0 ; +\infty[$ en tant que somme de deux fonctions continues sur $[0 ; +\infty[$, qui sont $x \mapsto 3x^4 + x^2 + 1$ et $x \mapsto \sqrt{x}$.

ii) La fonction $f : x \mapsto (x^2 + 1)\sin(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$, qui sont $x \mapsto x^2 + 1$ et $x \mapsto \sin(x)$.

📏 Théorème : Continuité de la composée de deux fonctions

Si $f$ est une fonction continue en $x_0$ et si $g$ est une fonction continue en $f(x_0)$, alors la fonction $g \circ f$ est continue en $x_0$.

🔸 Proposition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions.
Si $f$ est continue sur $I$ et si $g$ est continue sur $f(I)$,
alors la fonction $g \circ f$ est continue sur $I$.

📌 Théorème

Si $u$ est une fonction continue sur $I$
et si pour tout $x \in I$ on a $u(x) \ge 0$,
alors la fonction $\sqrt{u}$ est continue sur $I$.

🌟 Exemple

La fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{-x^2 + 4}$
est continue sur l’intervalle $[-2, 2]$.

• On a que la fonction $x \mapsto -x^2 + 4$ est continue sur $[-2, 2]$ (car fonction polynôme).
• Pour tout $x \in [-2, 2]$, on a $-x^2 + 4 \ge 0$.

D’où la fonction $f$ est continue sur $[-2, 2]$.