Rapelles sur les limites

#2bacsef

Sommaire

I. Opérations sur les limites
II. Limites des fonctions polynomes et rationnelles
III. Limites trigonométriques
VI. Théorèmes de comparaison
V. Exercices

I. Opérations sur les limites

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques et $x_0\in\R$ fixé.

Les propriétés figurent dans les tableaux ci-aprés restent vraies lorsque $x$ tend vers: $x_0$ à droite , $x_0$ à gauche, $-\infty$ ou $+\infty$

F.I “formes indéterminées” veut dire on ne peut pas calculer la limite directement, il faut faires d’autres calcules car il y a plusieurs cas.

1) Limite de la somme

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$\lim\limits_{x \to x_0} g(x)$	$\ell'$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim\limits_{x \to x_0} (f+g)(x)$	$\ell + \ell'$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	F.I

2) Limites des produits

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$	$\ell$	$\ell > 0 \text{ ou } +\infty$		$\ell < 0 \text{ ou } -\infty$		$0$
$\lim\limits_{x \to x_0} g(x)$	$\ell '$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$\pm\infty$
$\lim\limits_{x \to x_0} (f \times g)(x)$	$\ell \times \ell'$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	F.I

Propriété

Soit $n\in \N^*$ on a les limites suivantes :

\lim\limits_{x\to +\infty} x^n=+\infty

et

\lim\limits_{x\to -\infty} x^n = \left\{ \begin{array}{ll} +\infty & \text{ si n est paire}\\ -\infty & { si si n est impaire} \end{array} \right.

3) Limites des inverses

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$	$\ell \ne 0$	$0^+$	$0^-$	$\pm \infty$
$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{1}{f}(x)$	$\frac{1}{\ell}$	$+\infty$	$-\infty$	$0$

Propriété

Soit $n\in \N^*$ on a les limites suivantes :

$\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{1}{x^n}=0$
$\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{1}{x^n}=0$
$\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x^n}=+\infty$

\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x^n}=\left\{\begin{array}{ll} +\infty & \text{ si n est paire} \\ -\infty & \text{ si n est impaire}\end{array} \right.

4) Limites des quotients

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$	$\ell$	$\ell > 0$ ou $+\infty$		$\ell < 0$ ou $-\infty$		$0$	$\pm \infty$
$\lim\limits_{x \to x_0} g(x)$	$\ell' \ne 0$	$0^+$	$0^-$	$0^+$	$0^-$	$0$	$\pm \infty$
$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f}{g}(x)$	$\frac{l}{\ell'}$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	F.I	F.I

Remarque

Eviter d’écrire ces expressions qui n’ont pas de sens mathématique : ” $\frac{?}{0^+}$ , $\frac{?}{0^-}$ ”
Ne pas utiliser $+\infty$ et $-\infty$ dans les opérations dans $\R$ ( $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des réels)

II. Limites des fonctions polynomes et rationnelles

Soient $P$ et $Q$ deux polynomes et $x_0 \in \R$ fixé

P(X)=a_0+a_1X^1+a_2X^2+...+a_nX^n

et

Q(X)=b_0+b_1X^1+b_2X^2+...+b_mX^m

Proposition

\lim\limits_{x\to x_0} P(x) = P(x_0)

Example

\begin{align*} \lim\limits_{x\to 1} (2x^5 + 3x^2 - 2x + 1) &= 2 \times 1^5 + 3 \times 1^2 - 2 \times 1 + 1 \\ &= 4 \end{align*}

Proposition

La limite d’une fonction polynomiale en $+\infty$ ou en $-\infty$ est celle de son terme de plus grand degré:

\lim\limits_{x\to \pm\infty} P(x) = \lim\limits_{x\to \pm\infty} a_n x^n

Example

\begin{align*} \lim\limits_{x\to -\infty} (2x^5 + 3x^2 - 2x^7 + 1) &= \lim\limits_{x\to -\infty} -2x^7 \\ &= +\infty \end{align*}

Proposition

La limite d’une fonction rationnelle en $+\infty$ (resp. $-\infty$ ) est la limite du quotient des termes de plus grand degré en $+\infty$ (resp. $-\infty$ ):

\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m}

Example

\begin{align*} \lim\limits_{x\to +\infty} \frac{2x^3 - 3x^2 - 1}{-4x^5 + 3x + 1} &= \lim\limits_{x\to +\infty} \frac{2x^3}{-4x^5}\\ &= \lim\limits_{x\to +\infty} \frac{-1}{2x^2}\\ &= 0 \end{align*}

III. Limites trigonométriques

Propriété

\begin{aligned} \bullet~&\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \\~\\ \bullet~&\lim\limits_{x\to 0} \frac{tan(x)}{x}=1 \\~\\ \bullet~&\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2} \end{aligned}

Exemple

\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{2x} &= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\sin(2x)} \\~\\ &= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \times \frac{2x}{\sin(2x)} \times \frac{3x}{2x} \\~\\ &= \frac{3}{2} \end{aligned}

Pour calculer : $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin(x - \frac{\pi}{3})}{3x - \pi}$

On pose $X = x - \frac{\pi}{3}$ alors $3X = 3x - \pi$ , et quand $x$ tend vers $\frac{\pi}{3}$ , on a $X$ tend vers $0$ .

Ainsi,

\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin(x - \frac{\pi}{3})}{3x - \pi} = \lim\limits_{X \to 0} \frac{\sin(X)}{3X} = \frac{1}{3}

VI. Théorèmes de comparaison

Théorèmes

Soit $I$ un intervalle de la forme $[a; +\infty[$ et $l\in\R$ et soient $f$ , $u$ et $v$ des fonctions numériques définies sur l’intervalle $I$

On a les théorèmes suivants.

Si
$\left\{ \begin{array}{ll} (\forall x\in I) \ ; \ u(x) \le f(x) \\ \lim\limits_{x\to +\infty} u(x) = +\infty \end{array} \right.$
alors : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
Si
$\left\{ \begin{array}{ll} (\forall x\in I) \ ; \ f(x) \le u(x) \\ \lim\limits_{x\to +\infty} u(x) = -\infty \end{array} \right.$
alors : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$
Si
$\left\{ \begin{array}{ll} (\forall x\in I) \ ; \ |f(x) - l| < u(x) \\ \lim\limits_{x\to +\infty} u(x) = 0 \end{array} \right.$
alors : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = l$
Si
$\left\{ \begin{array}{ll} (\forall x\in I) \ ; \ u(x) < f(x) < v(x) \\ \lim\limits_{x\to +\infty} u(x) = \lim\limits_{x\to +\infty} v(x) = l \end{array} \right.$
alors : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = l$

Remarque

Le théorème précédent est valable si $x$ tend vers $x_0$ à gauche, à droite ou $-\infty$

Exemples

Chaque exemple illustre l’application d’un théorème, dans l’ordre donné.

Exemple 1

Calcul de la limite

\lim\limits_{x\to 1} \frac{2+\cos(x)}{(x-1)^2}

Soit $x\neq 1$ on a $-1 \le \cos(x) \le 1$ ,

donc $1 \le 2+\cos(x) \le 3$

Donc : $\frac{1}{(x-1)^2} \le \frac{2+\cos(x)}{(x-1)^2}~~~~~$ (car $(x-1)^2 > 0$ )

Puisque : $\lim\limits_{x\to 1} (x-1)^2 = 0^+$

Alors

\lim\limits_{x\to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty

Donc :

\lim\limits_{x\to 1} \frac{2+\cos(x)}{(x-1)^2} = +\infty

Exemple 2

Calcul de la limite

\lim\limits_{x\to -\infty} x - \cos(x)

Soit $x \in \mathbb{R}$ on a : $-1 \le \cos(x)$

Donc $-\cos(x) \le 1$ ,

ce qui implique : $x - \cos(x) \le x + 1$

Comme $\lim\limits_{x\to -\infty} (x+1) = -\infty$

Alors :

\lim\limits_{x\to -\infty} (x - \cos(x)) = -\infty

Exemple 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par :

f(x) = 1 + \frac{\sin(x)}{x^2}

a) Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R}^* : |f(x) - 1| \le \frac{1}{x^2}$

Soit $x \in \mathbb{R}$

On a : $f(x) - 1 = \frac{\sin(x)}{x^2}$

On sait que $\forall x \in \mathbb{R}: |\sin(x)| \le 1 \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}^* : \left|\frac{\sin(x)}{x^2}\right| \le \frac{1}{x^2}$

Alors : $\ \ \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}^* : |f(x) - 1| \le \frac{1}{x^2}$

b) En déduire les deux limites : $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$

On a : $\ \ \ \ \ \forall x \in \mathbb{R}^* : |f(x) - 1| \le \frac{1}{x^2}$

Comme $\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{1}{x^2} = 0$ alors $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = 1$

De même : $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = 1$

Exemple 4

Calcul de la limite

\lim\limits_{x\to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)

Soit $x \in \mathbb{R}^*$ on a $x^2 \ge 0$

On a $~~ -1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1$

donc : $~~ -x^2 \le x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le x^2$

Alors :

\lim\limits_{x\to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0

car : $~~~~~ \lim\limits_{x\to 0} x^2 = 0 \ \ \text{et} \ \ \lim\limits_{x\to 0} (-x^2) = 0$