Suite géométrique

#1bacsef

Sommaire

I- Définition
II- Terme général
III- Somme de termes successifs

I- Définition

Définition
Une suite numérique $(u_n)$ est dite suite géométrique s’il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$ ,
$u_{n+1} = q u_n$
Le réel $q$ est appelé la raison de la suite $(u_n)$ .

Autrement dit : une suite est géométrique lorsque l’on passe d’un terme au suivant en multipliant par le même nombre $q$ .

Exemples

Soit $(u_n)$ une suite vérifiant, pour tout $n\in\N$ , la relation : $u_{n+1} = 5u_n$ .
C’est une suite géométrique de raison $q = 5$ .
Soit $(v_n)$ définie par $v_n = 2 \left( \dfrac{3}{4} \right)^n$ .
Alors :
$v_{n+1} = 2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1} = \dfrac{3}{4} \cdot v_n$
Donc c’est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{3}{4}$ et de premier terme $v_0 = 2$

II- Terme général

Proposition – Terme général d’une suite géométrique
Si $(v_n)_{n \ge n_0}$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_{n_0}$ , alors :
$\forall n \ge n_0,\quad v_n = v_{n_0} \cdot q^{n - n_0}$

Corollaire
Si $(u_n)_{n \ge n_0}$ est une suite géométrique de raison $q$ , alors :

\forall n, p \ge n_0,\quad \boxed{u_n = u_p \cdot q^{n - p}}

Exercice
Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que : $u_4 = 54$ et $u_1 = 2$ .
Déterminer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \N$ .

Correction
Soit $q$ la raison de la suite.

\begin{align*} u_4 = u_1 \cdot q^3 &\implies 54 = 2 \cdot q^3 \\ &\implies q^3 = 27 \\&\implies q = 3 \end{align*}

Donc :

u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}

III- Somme de termes successifs

Proposition – Somme de termes successifs d’une suite géométrique
Si $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q \ne 1$ et de premier terme $v_p$ , alors la somme
$S_n = v_p + v_{p+1} + \cdots + v_n$
est donnée par :
$S_n = v_p \cdot \left( \frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q} \right)$

Remarque

Si $q = 1$ , alors tous les termes sont égaux à $v_p$ :

S_n = v_p \cdot (n - p + 1)

Exemple

Calculer la somme :

S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \cdots + 512

Correction

Il s’agit de la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison $q = 2$ , dont le premier terme est $v_0 = 1$ .

Notons $v_n$ le terme général de cette suite. Alors :

v_n = v_p \cdot q^{n-p} = v_0 \cdot 2^n = 2^n

Cherchons $n$ tel que $v_n = 512$ , c’est-à-dire $2^n = 512$ .

Décomposition de $512$ en puissances de $2$ :

\begin{array}{c|c} 512 & 2 \\ 256 & 2 \\ 128 & 2 \\ 64 & 2 \\ 32 & 2 \\ 16 & 2 \\ 8 & 2 \\ 4 & 2 \\ 2 & 2 \\ 1 & \\ \end{array}

Donc $512 = 2^9$ , ce qui signifie que $v_9 = 512$ .
Nous avons donc $10$ termes allant de $v_0$ à $v_9$ .

Alors :

\begin{align*} S &= v_0 + v_1 + \cdots + v_9 \\ &= v_0 \cdot \left( \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \right) \\ &= 1 \cdot \left( \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} \right) \\ &= 2^{10}-1 \\ &= 1023 \end{align*}