Suite arithmétique

I- Définition

Définition
Une suite numérique $(u_n)$ est dite suite arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$,

$$u_{n+1} = u_n + r$$

Le nombre $r$ est appelé raison de la suite arithmétique.

Autrement dit : une suite est arithmétique lorsque l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$.

Exemple
La suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n + 3$ est une suite arithmétique.
En effet :

Donc :

C’est donc une suite arithmétique de raison $2$.
Ses premiers termes sont :

$u_0 = 3$, $u_1 = 5$, $u_2 = 7$, $u_3 = 9$, $u_4 = 11$, $u_5 = 13$, $u_6 = 15$, …

II- Terme général

Proposition – Terme général d’une suite arithmétique
Si $(u_n)_{n \ge n_0}$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{n_0}$, alors :

$$u_n = u_{n_0} + (n - n_0) \cdot r$$

Corollaire
Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors pour tout $n$ et $p$ entiers :

Exercice
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, telle que : $u_5 = 10$ et $u_2 = -2$

1. Calculer $u_0$ et $r$
2. Calculer $u_n$ en fonction de $n$
3. Déterminer $n$ tel que $u_n = 142$

Correction
1.

• On sait que $u_n = u_p + (n - p)r$
• Avec $n = 5$ et $p = 2$ :

• Avec $n = 0$ et $p = 2$ :

• $(u_n)$ est de raison $r = 4$ et $u_0 = -10$, donc :

III- Somme de termes successifs

Proposition – Somme de termes successifs d’une suite arithmétique
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{n_0}$
Soit $S_n = u_p + u_{p+1} + u_{p+2} + \cdots + u_n$ pour $n_0 \leq p \leq n$
Alors :

$$S_n = (n - p + 1) \cdot \left( \frac{u_p + u_n}{2} \right)$$

Exercice
Calculer les sommes :

$S_1 = 1 + 2 + 3 + \cdots + 20 + 21$

$S_2 = -3 + 1 + 5 + 9 + \cdots + 33 + 37$

Correction

• $S_1 = 1 + 2 + 3 + \cdots + 20 + 21$

  $S_1$ : Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison $1$, premier terme $1$, dernier terme $21$

  Le nombre de termes est $21$

  Donc :

  $$S_1 = 21 \cdot \left( \frac{1 + 21}{2} \right) = 21 \cdot 11 = 231$$

• $S_2 = -3 + 1 + 5 + 9 + \cdots + 33 + 37$

  $S_2$ : Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison $4$, de premier terme $-3$ et de dernier terme $37$

  Notons le terme général de cette suite par $v_n$.

  On a :

  $$v_n = v_p + r(n - p)$$

  Donc :

  $$v_n = v_0 + 4n = -3 + 4n$$

  Si $v_n = 37$, alors :

  $$\begin{align*} -3 + 4n = 37 &\implies 4n = 40 \\&\implies n = 10 \end{align*}$$

  Donc $v_{10} = 37$

  Il y a donc $10 - 0 + 1 = 11$ termes, de $v_0 = -3$ à $v_{10} = 37$

  La somme est alors :