I- Définition et notations
Définition
Une suite est une fonction numérique d’une partie I I I N \mathbb{N} N R \mathbb{R} R
Pour n ∈ I n \in I n ∈ I u ( n ) u(n) u ( n ) u n u_n u n n n n terme ou terme général de la suite.
Remarques
On ne confondra pas les notations :
( u n ) n ∈ I (u_n)_{n \in I} ( u n ) n ∈ I I ⊂ N I \subset \mathbb{N} I ⊂ N R \mathbb{R} R u n u_n u n f ( n ) f(n) f ( n ) f f f n n n
La suite ( u n ) n ∈ I (u_n)_{n \in I} ( u n ) n ∈ I ( n , u n ) (n, u_n) ( n , u n ) n n n I I I
On note la suite ( u n ) n ∈ I (u_n)_{n \in I} ( u n ) n ∈ I I = N I = \mathbb{N} I = N ( u n ) n ∈ N (u_n)_{n \in \mathbb{N}} ( u n ) n ∈ N ( u n ) (u_n) ( u n ) n 0 n_0 n 0 0 0 0 ( u n ) n ≥ n 0 (u_n)_{n \geq n_0} ( u n ) n ≥ n 0
Exemples
( n ) n ≥ 0 (\sqrt{n})_{n \geq 0} ( n ) n ≥ 0 0 0 0 1 1 1 2 \sqrt{2} 2 3 \sqrt{3} 3 ( ( − 1 ) n ) n ≥ 0 ((-1)^n)_{n \geq 0} (( − 1 ) n ) n ≥ 0 + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1 + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1 ( 1 n 2 ) n ≥ 1 \left(\frac{1}{n^2}\right)_{n \geq 1} ( n 2 1 ) n ≥ 1 1 1 1 1 4 \frac{1}{4} 4 1 1 9 \frac{1}{9} 9 1 1 16 \frac{1}{16} 16 1
Exercice ( u n ) n ∈ N (u_n)_{n \in \mathbb{N}} ( u n ) n ∈ N u n = 2 n + 1 n + 3 u_n = \frac{2n+1}{n+3} u n = n + 3 2 n + 1
Calculer u 0 u_0 u 0 u 1 u_1 u 1 u 20 u_{20} u 20
Calculer u n + 1 u_{n+1} u n + 1 u n − 1 u_{n-1} u n − 1
Calculer u n + 1 − u n u_{n+1} - u_n u n + 1 − u n
Correction
u 0 = 2 × 0 + 1 0 + 3 = 1 3 u_0 = \frac{2 \times 0 + 1}{0 + 3} = \frac{1}{3} u 0 = 0 + 3 2 × 0 + 1 = 3 1 u 1 = 2 × 1 + 1 1 + 3 = 3 4 u_1 = \frac{2 \times 1 + 1}{1 + 3} = \frac{3}{4} u 1 = 1 + 3 2 × 1 + 1 = 4 3 u 20 = 2 × 20 + 1 20 + 3 = 41 23 u_{20} = \frac{2 \times 20 + 1}{20 + 3} = \frac{41}{23} u 20 = 20 + 3 2 × 20 + 1 = 23 41
u n + 1 = 2 ( n + 1 ) + 1 n + 4 = 2 n + 3 n + 4 u_{n+1} = \frac{2(n+1) + 1}{n + 4} = \frac{2n + 3}{n + 4} u n + 1 = n + 4 2 ( n + 1 ) + 1 = n + 4 2 n + 3 u n − 1 = 2 ( n − 1 ) + 1 n + 2 = 2 n − 1 n + 2 u_{n-1} = \frac{2(n-1) + 1}{n + 2} = \frac{2n - 1}{n + 2} u n − 1 = n + 2 2 ( n − 1 ) + 1 = n + 2 2 n − 1
u n + 1 − u n = 2 n + 3 n + 4 − 2 n + 1 n + 3 = 6 n + 3 n + 9 − 8 n − n − 4 ( n + 4 ) ( n + 3 ) = 5 ( n + 4 ) ( n + 3 ) \begin{align*}
u_{n+1} - u_n &= \frac{2n + 3}{n + 4} - \frac{2n + 1}{n + 3} \\
&= \frac{6n+3n+9-8n-n-4}{(n + 4)(n + 3)}\\
&= \frac{5}{(n + 4)(n + 3)}
\end{align*} u n + 1 − u n = n + 4 2 n + 3 − n + 3 2 n + 1 = ( n + 4 ) ( n + 3 ) 6 n + 3 n + 9 − 8 n − n − 4 = ( n + 4 ) ( n + 3 ) 5 II- Suite récurrente
Définition
Exemple ( u n ) (u_n) ( u n )
{ u 0 = 3 u n + 1 = 2 u n − 1 , n ≥ 0 \begin{cases}
u_0 = 3 \\
u_{n+1} = 2u_n - 1,~n \geq 0
\end{cases} { u 0 = 3 u n + 1 = 2 u n − 1 , n ≥ 0 Calculer u 1 u_1 u 1 u 2 u_2 u 2 u 3 u_3 u 3
Correction
u 1 = 2 × 3 − 1 = 5 u_1 = 2 \times 3 - 1 = \boxed{5} u 1 = 2 × 3 − 1 = 5 u 2 = 2 × 5 − 1 = 9 u_2 = 2 \times 5 - 1 = \boxed{9} u 2 = 2 × 5 − 1 = 9 u 3 = 2 × 9 − 1 = 17 u_3 = 2 \times 9 - 1 = \boxed{17} u 3 = 2 × 9 − 1 = 17
III- Suite majorée, minorée, bornée
Définition ( u n ) n ∈ N (u_n)_{n \in \mathbb{N}} ( u n ) n ∈ N
Majorée : ∃ M ∈ R \exists M \in \mathbb{R} ∃ M ∈ R ∀ n ∈ N , u n ≤ M \forall n \in \mathbb{N},~u_n \leq M ∀ n ∈ N , u n ≤ M Minorée : ∃ m ∈ R \exists m \in \mathbb{R} ∃ m ∈ R ∀ n ∈ N , u n ≥ m \forall n \in \mathbb{N},~u_n \geq m ∀ n ∈ N , u n ≥ m Bornée : si elle est à la fois majorée et minorée
Exemple ( u n ) = n n + 2 (u_n) = \frac{n}{n+2} ( u n ) = n + 2 n
u n ≥ 0 u_n \geq 0 u n ≥ 0 0 0 0 u n ≤ 1 u_n \leq 1 u n ≤ 1 1 1 1 Donc bornée
Propriété ( u n ) (u_n) ( u n )
∃ M ∈ R ∀ n ∈ N ∣ u n ∣ ≤ M \exists M \in \mathbb{R} \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad |u_n| \leq M ∃ M ∈ R ∀ n ∈ N ∣ u n ∣ ≤ M
VI- Suite croissante, décroissante
Définition ( u n ) n ∈ I (u_n)_{n \in I} ( u n ) n ∈ I
Croissante si n ≥ n ′ ⇒ u n ≥ u n ′ n \geq n' \Rightarrow u_n \geq u_{n'} n ≥ n ′ ⇒ u n ≥ u n ′
Décroissante si n ≥ n ′ ⇒ u n ≤ u n ′ n \geq n' \Rightarrow u_n \leq u_{n'} n ≥ n ′ ⇒ u n ≤ u n ′
Strictement croissante si n > n ′ ⇒ u n > u n ′ n > n' \Rightarrow u_n > u_{n'} n > n ′ ⇒ u n > u n ′
Strictement décroissante si n > n ′ ⇒ u n < u n ′ n > n' \Rightarrow u_n < u_{n'} n > n ′ ⇒ u n < u n ′
Propriété ( u n ) n ∈ N (u_n)_{n \in \mathbb{N}} ( u n ) n ∈ N
Croissante : ∀ n , u n + 1 ≥ u n \forall n,~u_{n+1} \geq u_n ∀ n , u n + 1 ≥ u n Strictement croissante : ∀ n , u n + 1 > u n \forall n,~u_{n+1} > u_n ∀ n , u n + 1 > u n Décroissante : ∀ n , u n + 1 ≤ u n \forall n,~u_{n+1} \leq u_n ∀ n , u n + 1 ≤ u n Strictement décroissante : ∀ n , u n + 1 < u n \forall n,~u_{n+1} < u_n ∀ n , u n + 1 < u n Monotone : croissante ou décroissanteStrictement monotone : strictement croissante ou décroissante
Remarques
Croissante ⟺ ∀ n , u n + 1 − u n ≥ 0 \iff \forall n,~u_{n+1} - u_n \geq 0 ⟺ ∀ n , u n + 1 − u n ≥ 0
Si u n > 0 u_n > 0 u n > 0 n n n croissante ⟺ u n + 1 u n ≥ 1 \text{croissante} \iff \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 croissante ⟺ u n u n + 1 ≥ 1
Exercice ( u n ) = 2 n n + 1 (u_n) = \frac{2n}{n+1} ( u n ) = n + 1 2 n
Correction
u n + 1 − u n = 2 ( n + 1 ) n + 2 − 2 n n + 1 = 2 ( n + 1 ) 2 − 2 n ( n + 2 ) ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) > 0 \begin{align*}
u_{n+1} - u_n &= \frac{2(n+1)}{n+2} - \frac{2n}{n+1}\\
&= \frac{2(n+1)^2 - 2n(n+2)}{(n+1)(n+2)} \\
&= \frac{2}{(n+1)(n+2)} > 0
\end{align*} u n + 1 − u n = n + 2 2 ( n + 1 ) − n + 1 2 n = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 ( n + 1 ) 2 − 2 n ( n + 2 ) = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 > 0 Donc ( u n ) (u_n) ( u n ) strictement croissante .