Intersection , droite et cercle

#1bacsef

Sommaire

I- Positions relatives d’une droite et un cercle

Soit (C)(\mathcal{C}) un cercle de centre Ω\Omega et de rayon RR, et (D) und droite.

Soit dd la distance du point à la droite (D)(D)

  • si d>R>R alors (D) ne coupe pas (C)(\mathcal{C})
  • si d<R<R alors (D) coupe (C)(\mathcal{C}) en deux points
  • si d=R=R alors (D) coupe (C)(\mathcal{C}) en un seul point A, on dit que (D) est tangent à (C)(\mathcal{C}) au point A
  • d>Rd>R
(D)RdΩH
(D)∩(C)=∅(D)\cap(\mathcal{C})=\emptyset
  • d<Rd<R
(D)dΩHBA
(D)∩(C)={A;B}(D)\cap(\mathcal{C})=\{A;B\}
  • d=Rd=R
R=d(D)ΩH
(D)∩(C)={H}(D)\cap(\mathcal{C})=\{H\}

Exercice

Etudier la position relative du cercle (C)(C) et la droite (D)(D), dans chacun des cas suivants :

  1. (C) : (x−1)2+(y+1)2=5(C)~:~(x-1)^2+(y+1)^2=5 et (D) : 2x+y+4=0(D)~:~2x+y+4=0
  2. (C) : x2+y2+4x−2y=0(C)~:~x^2+y^2+4x-2y=0 et (D) : 6x−3y+10=0(D)~:~6x-3y+10=0
  3. (C) : (x+4)2+(y−5)2=40(C)~:~(x+4)^2+(y-5)^2=40 et (D) : 5x−4y−1=0(D)~:~5x-4y-1=0

  1. (C) : (x−1)2+(y+1)2=5(C)~:~(x-1)^2+(y+1)^2=5 et (D) : 2x+y+4=0(D)~:~2x+y+4=0

    (C)(C) est un cercle de centre Ω(1;−1)\Omega(1;-1) et de rayon R=5R=\sqrt5

    d(Ω,(D))=∣axΩ+byΩ+c∣a2+b2=∣2×1−1+4∣22+12=55=5\begin{align*} d(\Omega,(D))&=\frac{|ax_\Omega+by_\Omega+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ &=\frac{|2\times1-1+4|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt5} =\sqrt5 \end{align*}

    Donc d(Ω,(D))=Rd(\Omega,(D))=R, et donc (D)(D) est tangente au cercle (C)(C)

  2. (C) : x2+y2+4x−2y=0(C)~:~x^2+y^2+4x-2y=0 et (D) : 6x−3y+10=0(D)~:~6x-3y+10=0

    x2+y2+4x−2y=0  ⟺  (x2+4x)+(y2−2y)=0  ⟺  (x+2)2−4+(y−1)2−1=0  ⟺  (x+2)2−4+(y−1)2=52\begin{align*} &x^2+y^2+4x-2y=0 \\ &\iff (x^2+4x)+(y^2-2y)=0 \\ &\iff (x+2)^2-4+(y-1)^2-1=0\\ &\iff (x+2)^2-4+(y-1)^2=\sqrt5^2 \end{align*}

    Donc (C)(C) est un cercle de centre Ω(−2;−1)\Omega(-2;-1) et de rayon R=5R=\sqrt{5}

    d(Ω,(D))=∣axΩ+byΩ+c∣a2+b2=∣6×(−2)−3×(−1)+10∣62+(−3)2=145=4545=515\begin{align*} d(\Omega,(D))&=\frac{|ax_\Omega+by_\Omega+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ &=\frac{|6\times(-2)-3\times(-1)+10|}{\sqrt{6^2+(-3)^2}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{45}}=\frac{\sqrt{45}}{45} =\frac{\sqrt{5}}{15} \end{align*}

    Donc d(Ω,(D))<Rd(\Omega,(D))<R, et donc la droite (D)(D) coupe le cercle (C)(C) en deux points distincts.

  3. (C) : (x+4)2+(y−5)2=40(C)~:~(x+4)^2+(y-5)^2=40 et (D) : 5x−4y−1=0(D)~:~5x-4y-1=0

    (C)(C) est un cercle de centre Ω(−2;1)\Omega(-2;1) et de rayon R=40R=\sqrt{40}

    d(Ω,(D))=∣axΩ+byΩ+c∣a2+b2=∣5×(−4)−4×5−1∣52+(−4)2=4141=41\begin{align*} d(\Omega,(D))&=\frac{|ax_\Omega+by_\Omega+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ &=\frac{|5\times(-4)-4\times5-1|}{\sqrt{5^2+(-4)^2}} \\ &=\frac{41}{\sqrt{41}} =\sqrt{41} \end{align*}

    Donc d(Ω,(D))>Rd(\Omega,(D))>R, et donc la droite (D)(D) ne coupe pas le cercle (C)(C)

Propriété

Soit a,b,c∈Ra,b,c\in\R fixés, et (E)={M(x,y) / x2+y2+ax+by+c=0}(E)=\left\{M(x,y)~/~x^2+y^2+ax+by+c=0\right\}, posons δ=a2+b2−4c\delta=a^2+b^2-4c

  • Si δ<0\delta<0 alors l’ensemble (E)(E) est vide (E)=∅(E)=\emptyset
  • Si δ=0\delta=0 alors l’ensemble (E)(E) est un point, (E)={Ω(−a2,−a2)}(E)=\left\{\Omega\left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}\right)\right\}
  • Si δ>0\delta>0 alors, l’ensemble (E)(E) est une cercle de centre Ω(−a2,−a2)\Omega\left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}\right) et de rayon R=a2+b2−4c2R=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}

Exercice

Considèrons le cercle (C)(C) de centre Ω(0,1)\Omega(0,1) et de rayon R=1R=1 et (D)(D) la droite d’équation : x+y−2=0x+y-2=0

  1. Montrer que la droite (D)(D) coupe le cercle (C)(C) en deux points distincts AA et BB
  2. Donner une représentation paramétrique de (D)(D)
  3. Déterminer les coordonnées des points AA et BB
  1. d(Ω,(D))=∣axΩ+byΩ+c∣a2+b2=∣0+1−2∣12+12=12=22<1\begin{align*} d(\Omega,(D))&=\dfrac{|ax_\Omega+by_\Omega+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ &=\dfrac{|0+1-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ &=\frac{\sqrt2}{2}<1 \end{align*}

donc : d(Ω,(D))<Rd(\Omega,(D))<R, et par suite la droite (D)(D) coupe le cercle (C)(C) en deux points distincts AA et BB

  1. on a : le vecteur u⃗(−b,a)\vec{u}(-b,a) c-à-d u⃗(−1,1)\vec{u}(-1,1) est un vecteur directeur de (D)(D) et C(2,0)∈(D)C(2,0)\in(D) donc :
{x=2−ty=t    (t∈R)\left\{\begin{matrix}x=2-t \\ y=t~~~\end{matrix}\right. ~(t\in\R)

est une représentation paramétrique de (D)(D)

  1. Supposons que (D)(D) coupe (C)(C) en H(x,y)H(x,y) et cherchons xx et yy

une équation de (C)(C) est : (x−0)2+(y−1)2=1(x-0)^2+(y-1)^2=1

H(x,y)∈(C)∪(D)  ⟺  {x=2−t(1)y=t(2)x2+(y−1)2=1(3)\begin{align*} &H(x,y)\in(C)\cup(D) \iff \left\{\begin{matrix}x=2-t &(1)\\y=t &(2)\\x^2+(y-1)^2=1 &(3)\\\end{matrix}\right. \end{align*}

rmplacons (1)(1) et (2)(2) dans (3)(3) , alors (2−t)2+(t−1)2=1(2-t)^2+(t-1)^2=1 donc 2t2−6t+4=0 2t^2-6t+4=0

et donc t2−3t+2=0t^2-3t+2=0

Δ=9−8=1\Delta=9-8=1

L’équation admet deux solutions : {t1=3+12=2t2=3−12=1\left\{\begin{matrix}t_1=\frac{3+1}{2}=2\\t_2=\frac{3-1}{2}=1\\\end{matrix}\right.

En remplacant tt dans (1)(1) et (2)(2)

  • pour t=2t=2 on a : x=2−2=0x=2-2=0 et y=2y=2
  • pour t=1t=1 on a : x=2−1=1x=2-1=1 et y=1y=1

et donc on prend A(0,2)A(0,2) et B(1,1)B(1,1)

M(x,y)∈(C′)  ⟺  AM→.BM→=0  ⟺  (x−1y−3).(x+1y−1)=0  ⟺  (x−1)(x+1)+(y−3)(y−1)=0  ⟺  x2+y2−4y+2=0\begin{align*} &M(x,y)\in(C')\\ &\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0 \\ &\iff \begin{pmatrix}x-1 \\ y-3\end{pmatrix} . \begin{pmatrix}x+1 \\ y-1\end{pmatrix}=0 \\ &\iff (x-1)(x+1)+(y-3)(y-1)=0 \\ & \iff x^2+y^2-4y+2=0 \end{align*}

II- L’équation cartésiennede la tangente à un cercle en un point donné de ce cercle

Rappel

AA est un point d’un cercle (C)(C) de centre Ω\Omega.

La tangente en AA au cercle (C)(C) est la droite passant par AA et perpendiculaire à la droite (ΩA)(\Omega A)

(D)ΩAM
M∈(D)  ⟺  AM→.AΩ→=0M\in(D) \iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{A\Omega}=0

Exercice 8

Soit (C)(C) le cercle de centre Ω(1,1)\Omega(1,1) de rayon RR et B(2,4)B(2,4) est un point de (C)(C)

  1. Déterminer RR
  2. Montrer que A(4,2)∈(C)A(4,2)\in(C)
  3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente au cercle (C)(C) en AA
xyO−11235−11235AΩB(T)
  1. On a :
R=ΩB=(xB−xΩ)2+(yB−yΩ)2=(2−1)2+(4−1)2=10\begin{align*} R&=\Omega B \\&= \sqrt{(x_B-x_\Omega)^2+(y_B-y_\Omega)^2}\\ &=\sqrt{(2-1)^2+(4-1)^2} \\ &=\sqrt{10} \end{align*}
  1. On a
ΩA=(xA−xΩ)2+(yA−yΩ)2=(4−1)2+(2−1)2=10=R\begin{align*} \Omega A &= \sqrt{(x_A-x_\Omega)^2+(y_A-y_\Omega)^2}\\ &=\sqrt{(4-1)^2+(2-1)^2} \\ &=\sqrt{10} \\&=R \end{align*}

Donc : ΩA=R\Omega A=R, et donc A(2,1)∈(C)A(2,1)\in(C)

  1. Notons par (T)(T) la tangente au cercle (C)(C) en AA

Soit M(x,y)M(x,y) un point du plan

M(x,y)∈(T)  ⟺  AM→.AΩ→=0  ⟺  (x−4y−2).(1−41−2)=0  ⟺  −3(x−4)−(y−2)=0  ⟺  −3x−y+14=0  ⟺  3x+y−14=0\begin{align*} M(x,y)\in (T)& \iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{A\Omega}=0 \\ &\iff \begin{pmatrix}x-4\\y-2\end{pmatrix}. \begin{pmatrix}1-4\\1-2\end{pmatrix}=0 \\ & \iff -3(x-4)-(y-2)=0 \\ & \iff -3x-y+14=0\\ & \iff 3x+y-14=0 \end{align*}

Donc 3x+y−14=03x+y-14=0 est une équation cartésienne de la tangente au cercle (C)(C) en AA