Cercle dans le plan (étude analytique)

#1bacsef

Sommaire

I- Equation cartésienne

Soit (C)(C) un cercle de centre Ω(xΩ,yΩ)\Omega(x_\Omega,y\Omega) et de rayon R>0R>0 et M(x,y)∈(C)M(x,y)\in(C)

OM
M(x,y)∈(C)  ⟺  ΩM=R  ⟺  (xM−xΩ)2+(yM−yΩ)2=R  ⟺  (x−xΩ)2+(y−yΩ)2=R2\begin{align*} M(x,y)\in(C) &\iff \Omega M=R \\ &\iff \sqrt{(x_M-x_\Omega)^2+(y_M-y_\Omega)^2}=R \\ & \iff (x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=R^2 \end{align*}
M(x,y)∈(C)  ⟺  ΩM=R  ⟺  (xM−xΩ)2+(yM−yΩ)2=R  ⟺  (x−xΩ)2+(y−yΩ)2=R2 \begin{align*} &M(x,y)\in(C) \\ &\iff \Omega M=R \\ &\iff \sqrt{(x_M-x_\Omega)^2+(y_M-y_\Omega)^2}=R \\ &\iff (x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=R^2 \end{align*}

Propriété

Une équation cartésienne du cercle (C)(C) de centre Ω(xΩ,yΩ)\Omega(x_\Omega,y_\Omega) et de rayon R>0R>0 est :

(x−xΩ)2+(y−yΩ)2=R2\boxed{(x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=R^2}

que l’on peut écrire : x2+y2−2ax−2by+c=0x^2+y^2-2ax-2by+c=0 où a=xΩa=x_\Omega, b=yΩb=y_\Omega et c=a2+b2−R2c=a^2+b^2-R^2

Propriété

Soient AA et BB deux points distincts.
L’ensemble des points MM du plan qui vérifient :

MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0

est un cercle de diamètre [AB][AB].

Preuve

Soit Ω\Omega le milieu du segment [AB][AB] donc ΩA=ΩB\Omega A = \Omega B et ΩA→+ΩB→=0⃗\overrightarrow{\Omega A} + \overrightarrow{\Omega B} = \vec{0}.

MA→⋅MB→=0  ⟺  (MΩ→+ΩA→)⋅(MΩ→+ΩB→)=0  ⟺  MΩ2+MΩ→⋅ΩB→+ΩA→⋅MΩ→+ΩA→⋅ΩB→=0  ⟺  MΩ2+MΩ→⋅(ΩB→+ΩA→)−ΩA2=0  ⟺  MΩ=ΩA\begin{align*} \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 &\iff (\overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega A}) \cdot (\overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega B}) = 0 \\ &\iff M\Omega^2 + \overrightarrow{M\Omega} \cdot \overrightarrow{\Omega B} + \overrightarrow{\Omega A} \cdot \overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega A} \cdot \overrightarrow{\Omega B} = 0 \\ &\iff M\Omega^2 + \overrightarrow{M\Omega} \cdot (\overrightarrow{\Omega B} + \overrightarrow{\Omega A}) - \Omega A^2 = 0 \\ &\iff M\Omega = \Omega A \end{align*}
MA→⋅MB→=0  ⟺  (MΩ→+ΩA→)⋅(MΩ→+ΩB→)=0  ⟺  MΩ2+MΩ→⋅ΩB→+ΩA→⋅MΩ→+ΩA→⋅ΩB→=0  ⟺  MΩ2+MΩ→⋅(ΩB→+ΩA→)−ΩA2=0  ⟺  MΩ=ΩA\begin{align*} &\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \\&\iff (\overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega A}) \cdot (\overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega B}) = 0 \\ &\iff M\Omega^2 + \overrightarrow{M\Omega} \cdot \overrightarrow{\Omega B} + \overrightarrow{\Omega A} \cdot \overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega A} \cdot \overrightarrow{\Omega B} = 0 \\ &\iff M\Omega^2 + \overrightarrow{M\Omega} \cdot (\overrightarrow{\Omega B} + \overrightarrow{\Omega A}) - \Omega A^2 = 0 \\ &\iff M\Omega = \Omega A \end{align*}

Alors ΩA=ΩB=ΩM\Omega A = \Omega B = \Omega M
Donc MM appartient au cercle de diamètre [AB][AB].

ABMΩ

Exercice

  1. Déterminer une équation du cercle (C)(C) de centre Ω(1,−1)\Omega(1,-1) et de rayon R=2R = \sqrt{2}
  2. Déterminer une équation du cercle (C′)(C') de diamètre [AB][AB] tel que A(1,3)A(1,3) et B(−1,1)B(-1,1)

Correction

  1. Une équation du cercle (C)(C) de centre Ω(1,−1)\Omega(1,-1) et de rayon R=2R = \sqrt{2} est :

    (x−xΩ)2+(y−yΩ)2=R2(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 = R^2

    soit :

    (x−1)2+(y+1)2=(2)2(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = (\sqrt{2})^2

    Ce qui donne :

    x2+y2−2x+2y=0x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0

  2. 1re méthode :
    Le centre du cercle (C′)(C') est le point

    Ω′=(xA+xB2,yA+yB2)=(0,2)\Omega' = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = (0,2)

    Le rayon est :

    R=AB2=(xB−xA)2+(yB−yA)22=2\begin{align*} R &= \frac{AB}{2} \\&= \frac{\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}{2} \\& = \sqrt{2} \end{align*}

    Donc une équation de (C′)(C') est :

    (x−0)2+(y−2)2=(2)2  ⟹  x2+y2−4y+4=2\begin{align*} & (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{2})^2 \\& \implies x^2 + y^2 - 4y + 4 = 2 \end{align*}

    ce qui donne :

    x2+y2−4y+2=0x^2 + y^2 - 4y + 2 = 0

    2ème méthode :

M(x,y)∈(C′)  ⟺  AM→⋅BM→=0  ⟺  (x−1y−3)⋅(x+1y−1)=0  ⟺  (x−1)(x+1)+(y−3)(y−1)=0  ⟺  x2+y2−4y+2=0 \begin{align*} M(x,y) \in (C') &\iff \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0 \\ &\iff \begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x + 1 \\ y - 1 \end{pmatrix} = 0 \\ &\iff (x - 1)(x + 1) + (y - 3)(y - 1) = 0 \\ &\iff x^2 + y^2 - 4y + 2 = 0 \end{align*}
M(x,y)∈(C′)  ⟺  AM→⋅BM→=0  ⟺  (x−1y−3)⋅(x+1y−1)=0  ⟺  (x2−12)+(y−3)(y−1)=0  ⟺  x2+y2−4y+2=0 \begin{align*} &M(x,y) \in (C') \\&\iff \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0 \\ &\iff \begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x + 1 \\ y - 1 \end{pmatrix} = 0 \\ &\iff (x^2 - 1^2) + (y - 3)(y - 1) = 0 \\ &\iff x^2 + y^2 - 4y + 2 = 0 \end{align*}

II- Représentation paramétrique

Soit (C)(C) un cercle de centre Ω(xΩ,yΩ)\Omega(x_\Omega,y_\Omega) et de rayon RR , et M(x,y)∈(C)M(x,y)\in(C) tel que (i→,ΩM→‾)≡θ [2π]\left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{\Omega M}}\right)\equiv \theta~ [2\pi]

O⃗i⃗jΩMIJθ

  • On a : ΩM→(x−xΩ,y−yΩ)\overrightarrow{\Omega M}(x-x_\Omega,y-y_\Omega) et i⃗(1,0)\vec{i}(1,0),

    Donc : i⃗.ΩM→=x−xΩ\vec{i}.\overrightarrow{\Omega M}=x-x_\Omega

  • j⃗(0,1)\vec{j}(0,1), donc : j⃗.ΩM→=y−yΩ\vec{j}.\overrightarrow{\Omega M}=y-y_\Omega

  • i⃗.ΩM→=∣∣i⃗∣∣.∣∣ΩM→∣∣.cos(θ)=ΩM.cos(θ)=Rcos(θ)\vec{i}.\overrightarrow{\Omega M}=||\vec{i}||.||\overrightarrow{\Omega M}||.cos(\theta)=\Omega M.cos(\theta)=Rcos(\theta)

  • j⃗.ΩM→=∣∣j⃗∣∣.∣∣ΩM→∣∣.cos(π2−θ)=ΩM.sin(θ)=Rsin(θ)\vec{j}.\overrightarrow{\Omega M}=||\vec{j}||.||\overrightarrow{\Omega M}||.cos\left(\dfrac\pi2-\theta\right)=\Omega M.sin(\theta)=Rsin(\theta)

Donc on déduit la propriété :

Propriété

(S) : {x=xΩ+Rcos(θ)y=yΩ+Rsin(θ)  (θ∈R)(S)~:~ \left\{ \begin{matrix} x=x_\Omega+Rcos(\theta) \\ y=y_\Omega+Rsin(\theta) \end{matrix} \right. ~~(\theta \in\R)

Le système (S)(S) est appelé une représentation paramétrique du cercle de centre Ω(xΩ,yΩ)\Omega(x_\Omega,y_\Omega) et de rayon RR

Exercice

  1. Soit (C)(C), le cercle d’équation: x2+y2+6x−8y+23=0x^2+y^2+6x-8y+23=0, de rayon RR et de centre Ω\Omega

a) Déterminer les coordonnées de Ω\Omega et RR

b) écrire une représentation paramétrique de (C)(C)

  1. Déterminer l’ensemble des points M(x,y)M(x,y) du plan tels que :
{x=1+3cos(θ)y=−2+3sin(θ)  (θ∈R)\left\{ \begin{matrix} x=1+3cos(\theta) \\ y=-2+3sin(\theta) \end{matrix} \right.~~(\theta \in\R)

Correction

1/a

x2+y2+6x−8y+23=0  ⟺  x2+6x+y2−8y=−23  ⟺  (x2+6x+32)+(y2−8y+42)=−23+32+42  ⟺  (x+3)2+(y−4)2=(2)2\begin{align*} x^2+y^2+6x-8y+23=0 &\iff x^2+6x+y^2-8y=-23 \\ & \iff(x^2+6x+3^2)+(y^2-8y+4^2)=-23+3^2+4^2 \\ &\iff (x+3)^2+(y-4)^2=(\sqrt2)^2 \end{align*}
x2+y2+6x−8y+23=0  ⟺  x2+6x+y2−8y=−23  ⟺  (x2+6x+32)+(y2−8y+42)=−23+32+42  ⟺  (x+3)2+(y−4)2=(2)2\begin{align*} &x^2+y^2+6x-8y+23=0\\ &\iff x^2+6x+y^2-8y=-23 \\ & \iff(x^2+6x+3^2)+(y^2-8y+4^2)=-23+3^2+4^2 \\ &\iff (x+3)^2+(y-4)^2=(\sqrt2)^2 \end{align*}

Donc Ω(−3;4)\Omega(-3;4) et R=2R=\sqrt2

1/b/ une représentation paramétrique de (C)(C) est :

{x=−3+2cos(θ)y=4+2sin(θ)    (θ∈R)\left\{ \begin{matrix} x=-3+\sqrt2cos(\theta) \\ y=4+\sqrt2sin(\theta)~~ \end{matrix} \right.~~(\theta \in\R)

2/ On a :

{x=1+3cos(θ)y=−2+3sin(θ)  (θ∈R)\left\{ \begin{matrix} x=1+3cos(\theta) \\ y=-2+3sin(\theta) \end{matrix} \right.~~(\theta \in\R)
  ⟹  {x−1=3cos(θ)y+2=+3sin(θ)  (θ∈R)\implies \left\{ \begin{matrix} x-1=3cos(\theta) \\ y+2=+3sin(\theta) \end{matrix} \right.~~(\theta \in\R)

D’où :

(x−1)2+(y+2)2=32(cos2θ+sin2θ)\begin{align*} (x-1)^2+(y+2)^2&=3^2(cos^2\theta+sin^2\theta) \end{align*}
  ⟹  (x−1)2+(y+2)2=32\implies(x-1)^2+(y+2)^2=3^2

par suite : (x−1)2+(y+2)2=32(x-1)^2+(y+2)^2=3^2 est une équation cartésienne du cercle de centre Ω(1;−2)\Omega(1;-2) et de rayon R=3R=3