Droite dans le plan (étude analytique)

I- Équation cartésienne d’une droite et vecteur normal

Définition : Vecteur normal

Soit $(D)$ une droite dans le plan.
Tout vecteur non nul et orthogonal à un vecteur directeur de $(D)$ est appelé vecteur normal à $(D)$.

Propriété

Soit $(D)$ une droite d’équation cartésienne : $ax + by + c = 0$
Le vecteur $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal à $(D)$.

Démonstration

On sait que $\vec{u}(-b, a)$ est un vecteur directeur de $(D)$.

On a :
$\vec{n} \cdot \vec{u} = a \cdot (-b) + b \cdot a = 0$

Donc $\vec{n}(a, b)$ est un vecteur normal à $(D)$.

Exemple

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par le point $A(1,1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2,3)$.

Correction

Si $M(x, y)$ est un point de $(D)$, alors $\vec{AM}$ est un vecteur directeur de $(D)$.

Donc, une équation cartésienne de $(D)$ est : $2x + 3y - 5 = 0$

Autre méthode :
L’équation de $(D)$ est : $ax + by + c = 0$
Comme $\vec{n}(2,3)$ est un vecteur normal à $(D)$, on a $a = 2$, $b = 3$
L’équation devient : $2x + 3y + c = 0$
Puisque $A(1,1) \in (D)$, alors $2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + c = 0$ donc $c = -5$
Donc, l’équation de $(D)$ est : $2x + 3y - 5 = 0$

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II- Orthogonalité de deux droites

Propriété

Soient $(D)$ d’équation $ax + by + c = 0$ et $(D')$ d’équation $a'x + b'y + c' = 0$.

Les droites $(D)$ et $(D')$ sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, c’est-à-dire :
$aa' + bb' = 0$

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III- Distance d’un point à une droite

Définition

Soit $(D)$ une droite, $A$ un point du plan, et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(D)$.
La distance $AH$ est appelée distance du point $A$ à la droite $(D)$ et on écrit :
$d(A, (D)) = AH$

Propriété

Soit $(D) : ax + by + c = 0$ une droite et $A(x_A, y_A)$ un point du plan.

Exemple

Soit $(D)$ la droite d’équation $x + y + 2 = 0$, et les points $A(1, -1)$ et $B(0, -2)$.

1. Déterminer $d(A, (D))$ et $d(B, (D))$
2. Que peut-on conclure ?

Correction

1. On a :
   • $d(A, (D)) = \dfrac{|1 + (-1) + 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
   • $d(B, (D)) = \dfrac{|0 + (-2) + 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{0}{\sqrt{2}} = 0$
2. Comme $d(B, (D)) = 0$, on conclut que $B \in (D)$

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