Analytique du produit scalaire

#1bacsef

Sommaire

Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}).

I- Propriétés

Propriété

Soient u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j} et v⃗=x′i⃗+y′j⃗\vec{v}=x'\vec{i}+y'\vec{j} deux vecteurs du plan,
on a : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'}

Preuve

u⃗⋅v⃗=(xi⃗+yj⃗)⋅(x′i⃗+y′j⃗)=xx′⋅i⃗2+xy′⋅i⃗⋅j⃗+yx′⋅j⃗⋅i⃗+yy′⋅j⃗2\begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= (x\vec{i} + y\vec{j}) \cdot (x'\vec{i} + y'\vec{j}) \\ &= xx' \cdot \vec{i}^2 + xy' \cdot \vec{i} \cdot \vec{j} + yx' \cdot \vec{j} \cdot \vec{i} + yy' \cdot \vec{j}^2 \end{align*}

Comme (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}) est un repère orthonormé, on a i⃗⋅j⃗=0\vec{i} \cdot \vec{j} = 0, ∣∣i⃗∣∣=1||\vec{i}|| = 1 et ∣∣j⃗∣∣=1||\vec{j}|| = 1.

Donc :

  • i⃗2=∣∣i⃗∣∣2=1\vec{i}^2 = ||\vec{i}||^2 = 1
  • j⃗2=∣∣j⃗∣∣2=1\vec{j}^2 = ||\vec{j}||^2 = 1

Ainsi, u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'

Exemple

Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot \vec{w} et v⃗⋅w⃗\vec{v} \cdot \vec{w} où
u⃗=i⃗+2j⃗\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j}, v⃗=2i⃗−j⃗\vec{v} = 2\vec{i} - \vec{j} et w⃗=−2i⃗+2j⃗\vec{w} = -2\vec{i} + 2\vec{j}

Correction

On a : u⃗(1,2)\vec{u}(1,2), v⃗(2,−1)\vec{v}(2,-1) et w⃗(−2,2)\vec{w}(-2,2)

  • u⃗⋅v⃗=1×2+2×(−1)=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) = 0
  • u⃗⋅w⃗=1×(−2)+2×2=2\vec{u} \cdot \vec{w} = 1 \times (-2) + 2 \times 2 = 2
  • v⃗⋅w⃗=2×(−2)+(−1)×2=−6\vec{v} \cdot \vec{w} = 2 \times (-2) + (-1) \times 2 = -6

Propriété

Deux vecteurs u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j} et v⃗=x′i⃗+y′j⃗\vec{v}=x'\vec{i}+y'\vec{j} sont orthogonaux si et seulement si xx′+yy′=0\boxed{xx'+yy'=0}

Exemple

Soient u⃗=(−42)\vec{u} = \begin{pmatrix}-4 \\ 2\end{pmatrix} et v⃗=(12)\vec{v} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} deux vecteurs du plan,

1314O

On a : u⃗⋅v⃗=−4×1+2×2=0\vec{u} \cdot \vec{v} = -4 \times 1 + 2 \times 2 = 0
Donc u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux

II- Norme d’un vecteur et distance entre deux points

1) Norme et distance

Si u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}, alors la norme de u⃗\vec{u} est :

∣∣u⃗∣∣=x2+y2\boxed{||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}}

Proposition :

Soient A(xA,yA)A(x_A, y_A) et B(xB,yB)B(x_B, y_B) deux points, alors la distance ABAB est :

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

2) Expression de cos⁡(θ)\cos(\theta) et sin⁡(θ)\sin(\theta)

Si u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} et v⃗=x′i⃗+y′j⃗\vec{v} = x'\vec{i} + y'\vec{j} deux vecteurs
et θ\theta une mesure de l’angle orienté (u⃗,v⃗)\left(\vec{u}, \vec{v}\right), alors :

On sait que :
u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣⋅∣∣v⃗∣∣⋅cos⁡(θ)\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)
et
det⁡(u⃗,v⃗)=∣∣u⃗∣∣⋅∣∣v⃗∣∣⋅sin⁡(θ)\det(\vec{u}, \vec{v}) = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \sin(\theta)

Propriété :

cos⁡(θ)=xx′+yy′∣∣u⃗∣∣⋅∣∣v⃗∣∣,sin⁡(θ)=xy′−x′y∣∣u⃗∣∣⋅∣∣v⃗∣∣\cos(\theta) = \frac{xx' + yy'}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}, \quad \sin(\theta) = \frac{xy' - x'y}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}

Exemple :

Déterminer une mesure orientée de (AB→,AC→^)\left(\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}}\right) où
A(3,3)A(3,3), B(1,1)B(1,1) et C(1,3)C(1,3)

Correction :

On a :
AB→=(−2,−2)\overrightarrow{AB} = (-2, -2) et AC→=(−2,0)\overrightarrow{AC} = (-2, 0)

  • ∣∣AB→∣∣=(−2)2+(−2)2=22||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}
  • ∣∣AC→∣∣=(−2)2+02=2||\overrightarrow{AC}|| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2
  • AB→⋅AC→=(−2)⋅(−2)+(−2)⋅0=4\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \cdot (-2) + (-2) \cdot 0 = 4
  • det⁡(AB→,AC→)=∣−2−2−20∣=−4\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \begin{vmatrix}-2 & -2 \\-2 & 0 \\\end{vmatrix} = -4

Donc :

  • cos⁡(AB,AC→)=442=22\cos\left(\overrightarrow{AB, AC}\right) = \dfrac{4}{4\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
  • sin⁡(AB,AC→)=−442=−22\sin\left(\overrightarrow{AB, AC}\right) = \dfrac{-4}{4\sqrt{2}} = \dfrac{-\sqrt{2}}{2}

Ainsi, une mesure de l’angle orienté (AB→,AC→^)\left(\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}}\right) est −π4\boxed{-\dfrac{\pi}{4}}