Barycentre de trois points

Sommaire

Propriété et définition

Soit $(A,a)$ , $(B,b)$ et $(C,c)$ trois points pondérés du plan tel que $a+b+c\ne0$ .

il existe un unique point $G$ vérifianr : $a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Le point $G$ s’appelle le barycentre des points pondérés $(A,a)$ , $(B,b)$ et $(C,c)$

Exemple

$ABC$ un triangle de centre de gravité $G$

avec $A'$ , $B'$ et $C'$ sont les milieux respectifs des segments $[BC]$ , $[AC]$ et $[AB]$

on sait que : $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

et donc $G$ est le barycentre des points $(A,1)$ et $(B,1)$ et $(C,1)$

Propriétés

1. Homogénété : Si $G$ est le barycentre de $(A,a)$ , $(B,b)$ et $(C,c)$ , alors

$G$ est aussi le barycentre de $(A,ka)$ , $(B,kb)$ et $(C,kc)$ pour tout $k\in\R^*$

2. Propriété Caractéristique

Soit $(A,a)$ , $(B,b)$ et $(C,c)$ des points pondérés avec $a+b\ne0$

$G$ est le barycentre de $(A,a)$ et $(B,b)$ et $(C,c)$ si et seulement si pour tout point $M$ du plan on a :

a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=(a+b+c)\overrightarrow{MG}

en particulier si $M=A$ alors :

\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}

Application

Soit $ABC$ un triangle et $G$ un point tel que : $2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{GB}$

Montrer que $G$ est le barycentre des points pondérés $(A,1)$ , $(B,1)$ et $(C,2)$
Construire le point $G$

Correction

Méthode : Pour montrer que $G$ est le barycentre des points pondérés $(A,a)$ , $(B,b)$ et $(C,c)$ , il suffit de montrer que :

$a+b+c\ne0$
$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

on a : $2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{GB}$
$\begin{align*} &\iff 2(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC})-3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0} \\ &\iff -\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0} \\ &\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \end{align*}$
or : $1+1+2=4\ne0$ donc $G$ est le barycentre de $(A,1)$ , $(B,1)$ et $(C,2)$
Contruction de $G$

On a : $G$ est le barycentre de $(A,1)$ , $(B,1)$ et $(C,2)$

D’aprés la propriété caractéristique :

pour tout $M$ du plan on a : $(2+1+1)\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}$

En posant $M=A$ , on obtient : $(2+1+1)\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

D’où la construction de $G$

Propriété : Associativité du barycentre

$a,b,c\in\R$ tel que : $a+b+c\ne0$ et $a+b\ne0$

Si $G$ est lebarycentre de $(A,a)$ , $(B,b)$ et $(C,c)$ et $H$ est le barycentre de $(A,a)$ et $(B,b)$

alors $G$ est le barycentre de $(H,a+b)$ et $(C,c)$

Exemple

$G = bar\{(A, 1),(B, 2),(C, 3)\} = bar\{(G', 3),(C, 3)\}$ où $G' = bar\{(A, 1),(B, 2)\}$ .

il est claire que $G$ est le milieu de $[G'C]$ .

Propriété $a,b,c\in\R$ avec $a+b+c\ne0$

Le plan est menu d’un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ , et considèrons les points : $A(x_A,y_A)$ , $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$

Si $G$ est le barycentre de $(A,a)$ , $(B,b)$ et $(C,c)$ , alors les coordonnées de $G$ sont

\left\{ \begin{matrix} x_G=\dfrac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c} \\ y_G=\dfrac{ay_A+y_B+cy_C}{a+b+c} \end{matrix} \right.

Exemple

Soit $A(1,1)$ , $B(2,5)$ et $(-1,0)$ les coordonnées du point $G$ barycentre de $(A,2)$ , $(B,-1)$ et $(C,4)$ sont :

\left\{ \begin{matrix} x_G=\dfrac{2x_A-x_B+4x_C}{2+(-1)+4}=-\dfrac45 \\~\\ y_G=\dfrac{2y_A-y_B+4y_C}{2+(-1)+4}=-\dfrac35 \end{matrix} \right.

Donc : $G(-\dfrac45,-\dfrac35)$