Barycentre de deux points

Définition

Soit $A$ un point du plan et $a\in\R$.

Le couple $(A,a)$ s’appelle \ddefi{un point pondéré} et le réel $a$ s’ppelle \ddefi{la masse} du point $A$

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Propriété et définition

Soit $(A,a)$ et $(B,b)$ deux points pondérés du plan tel que $a+b\ne0$.

il existe un unique point $G$ vérifianr : $a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$

Le point $G$ s’appelle \ddefi{le barycentre} des points pondérés $(A,a)$ et $(B,b)$

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Exemple

Si $I$ est le milieu du segment $[AB]$ alors : $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

et donc $I$ est le barycentre des points $(A,1)$ et $(B,1)$

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Correction

Remarques

• Physiquement, G est le point d’équilibre de la balance munie des points $A$ et $B$ avec les masses respectives $a$ et $b$.
• En mécanique, le barycentre peut aussi s’appeler le centre d’inertie, le centre de gravité ou le centre de masse

Propriétés

1. Homogénété : Si $G$ est le barycentre de $(A,a)$ et $(B,b)$, alors

   $G$ est aussi le barycentre de $(A,ka)$ et $(B,kb)$ pour tout $k\in\R^*$

2. Propriété Caractéristique

   Soit $(A,a)$ et $(B,b)$ deux points pondérés avec $a+b\ne0$

   $G$ est le barycentre de $(A,a)$ et $(B,b)$ si et seulement si pour tout point $M$ du plan on a :

   $$a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=(a+b)\overrightarrow{MG}$$

Preuve

On a : $\text{G~barycentre~de~(A,a)~et~(B,b)}$

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Remarque

• Dans la propriété caractéristique, en remplacant $M$ par $A$ (respectivement par $B$), on obtient : $\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}~~~~$(respectivement $\overrightarrow{BG}=\dfrac{a}{a+b}\overrightarrow{BA}$)

• Donc si $A\ne B$ alors $G\in(AB)$ c-à-d les points $A$, $B$ et $G$ sont alignés

Proprité

Le plan est menu d’un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, et considèrons les points : $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$

Si $G$ est le barycentre de (A,a) et (B,b), alors les coordonnées de $G$ sont

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Exemple

Soit $A(2,3)$ et $B(-1,5)$, les coordonnées du point $G$ barycentre de $(A,4)$ et $(B,-3)$ sont :

Donc : $G(11,-3)$