$\text{Activité } : x \mapsto ax^3$

Partie 1

1. Les variations de $g$ sur $[0,+\infty[$

   Soient $x,y\in[0,+\infty[$ avec $x\ne y$ : on a :

   $$\begin{align*} T(x,y)&=\frac{g(x)-g(y)}{x-y}\\&=\frac{2x^3-2y^3}{x-y}\\&=2\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}\\&=2(x^2+xy+y^2) \end{align*}$$

   or : $\forall x,y\in]0,+\infty[$ : $T(x,y)> 0$

   Donc la fonction $g$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$

2. • $g$ est impaire

   On a $D_g=\R$ car $g$ polyn$\hat{o}$me et $\R$ est symétrique par rapport à $0$

   Soit $x\in\R$ on a : $g(-x)=2(-x)^3=-2x^3=-g(x)$

   Donc $g$ est impaire

   • Tableau de variations

   On a $g$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$

   et comme $g$ est impaire alors $g$ est strictement croissante sur $]-\infty,0]$

   Alors $g$ est strictement croissante sur $\R$

4. Tracé de $(C_g)$

Partie 2

Pour la fonction : $f:x\mapsto -2x^3$

On a $f(x)=-1g(x)$ et puique $\lambda=-1<0$ et $g$ est strictement croissante sur $\R$

Alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$

$f(x)=-g(x)$ signifie que $(C_f)$ et $(C_g)$ sont symétrique pa rapport à l’axe des abscisses

Preuve

SI $M(a,b)\in(C_f)$ donc $f(a)=b$

donc $g(a)=-f(a)=-b$ et donc $N(a,-b)\in(C_g)$

Alors $M$ et $N$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses